単射と全射について

質問

写像、単射、全射についての質問です。
これらのイメージがいまいちつかめません。
定義とか証明とかいったことが知りたいのでなく、
具体的な問題を解くための理解を得たいと思っています。
具体的な問題を挙げてみると、いまA={a,b,c,}とすると
AからAへの写像の数は27になるそうですが、
これはaについて3通りあって、bについても3通りあって、cについても3通りあるから
3×3×3=27という考え方であっているでしょうか？
次に、AからAへの単射の数、全射の数はそれぞれ6通りあるそうですが、
これはどういう考え方なのでしょうか？おそらく3!という計算だと思うのですが、
なぜそのような計算をするかがわかりません。
単射については、行き先の値がダブってはいけないということなのでしょうか？
拙い日本語で申し訳ないのですが、
補足等必要ならいたしますのでどなたか詳しい方は教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

oyamala · ベストアンサー

>A={a,b,c,}とすると
>AからAへの写像の数は27になるそうですが、
>これはaについて3通りあって、bについても3通りあって、cについても3通りあるから
>3×3×3=27という考え方であっているでしょうか？
その通りです、これは問題ありません。

>AからAへの単射の数、全射の数はそれぞれ6通りあるそうですが、
>これはどういう考え方なのでしょうか？おそらく3!という計算だと思うのですが、
>なぜそのような計算をするかがわかりません。
>単射については、行き先の値がダブってはいけないということなのでしょうか
単射についてはおっしゃる通りです、どの元の像も異なるということです。
全射というのは、集合Aのどんな要素にも移り得る元が存在するということです。
例えば「写像f:A→B」というのがあるとします。
単射というのは、どのAの要素をfで移しても、必ずB上の違った要素に移るということです。
全射というのは、集合Bの好きな要素をとってくると、それに移るようなAの要素が必ず１つ以上あるということです。

ですから、f:A→B　として、A={a,b,c},B={a,b,c,d}とすると、
AからBに移る単射は存在しますが、全射は存在しません。
逆にA={a,b,c,d},B={a,b,c}とすると、
単射は存在しますが、全射は存在します。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
しかし、全射についてがまだ理解できません・・・。
と思ってもう一度考え直したら理解できました！
勘違いしていました。たとえばBの方のaがaに対応してる場合にBのbがaに対応しているという場合は起こりえないんですよね？
そこを勘違いしていました。
あと、お書きくださった最後の文章の
>単射は存在しますが、全射は存在します。
は
→単射は存在しませんが、全射は存在します
ですよね。
ありがとうございました！

回答No.5

oyamala

たびたびすみません。
おこがましくも下の方の補足をさせて頂きますと、
それぞれの関数を(-∞,∞)→(-∞,∞)の写像としたときにそうなります。
(-∞,∞)→[0,∞)の写像と捕らえたりしますと、
y=x^2は全射だったりします。

お礼

たびたびお答えくださってありがとうざいます。
なるほど。範囲は確かに重要ですね。
もう少し自分で考えてみます。ありがとうございました。

回答No.4

norioP

下のグラフを書いてみるとイメージが得られる
とおもいます．

　　　 単射　　非単射
全射　 y=x 　y=tan(x)
非全射 y=e^x　y=x^2

お礼

なるほど。グラフで考えるわけですね。
しかしy=xとy=e^xがそうなるのはわかるのですがあとの2つがいまいちわかりません・・・。
自分で考えてみます。ありがとうございました。

回答No.3

oyamala

No.1で回答した者です。

先ほどご指摘頂いた
「あと、お書きくださった最後の文章の
>単射は存在しますが、全射は存在します。
は
→単射は存在しませんが、全射は存在します
ですよね。」
についてはまったくその通りです、申し訳ない。

理解して頂けたならありがたいです。

回答No.2

ojisan7

AからAへの写像の数、単射の数の理解はそれでよいと思います。分かりにくければ、樹形図を描いてみれば良いでしょう。全射の意味は,例えば、写像ｆ：X→Yについて、Yのどの要素も余らない（Xの要素の相棒がいる）ことです。Aが有限集合の場合には、AからAへの全射の数は単射の数と同じです。

お礼

ありがとうございます。
No.1の方のご回答と併せて非常に参考になりました。
おそらく理解できたと思います。助かりました。