どなたか教えてください。問題を解いていて詰まってしまいました…

質問

どなたか教えてください。問題を解いていて詰まってしまいました…

1.ｆ1～ｆ5をそれぞれ次の式で定義された実数から実数への写像とする。これらの値域を答えなさい。さらに全単射、単射、全射、単射でも全射でもどちらでもないのいずれであるか答えなさい。またグラフも描きなさい。

ｆ1(x)=x+1
f2(x)=x^3
f3(x)=x^3-x
f4(x)=a^x (a≠1、a>0)
f5(x)=x^2

2.ｆ，ｇ，ｈは実数から実数の写像でf(x)=x-2，g(x)=3x，h(x)=sinxとする。
　このとき、ｆ・ｇ・ｆ　と　ｈ・ｇ・ｆ　と　ｇ・ｈ・ｆ　を求めなさい。

この2問です。よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

f:X→Y
fは全射←def→(すべてのb∈Y　に対して　b=f(x) となる　x が存在する)
fは単射←def→( {x_1,x_2}⊂X　&　f(x_1)=f(x_2) 　→　x_1=x_2 )
fは全単射←def→(fは全射&fは単射)
1.
f1
すべてのb∈R(実数)　に対して
x=b-1 が存在してf1(x)=f1(b-1)=(b-1)+1=b→f1は全射
{x_1,x_2}⊂R & f1(x_1)=f1(x_2)→x_1+1=x_2+1→x_1=x_2→f1は単射→f1全単射
f2
b∈R　x=b^{1/3}
が存在して f2(x)=f2(b^{1/3})=(b^{1/3})^3=b → f2は全射
{x_1,x_2}⊂R & f2(x_1)=f2(x_2)→(x_1)^3=(x_2)^3
→(x_1-x_2)((x_1+x_2/2)^2+3(x_2^2)/4)=0
((x_1+x_2/2)^2+3(x_2^2)/4)=0のときx_1=x_2=0
((x_1+x_2/2)^2+3(x_2^2)/4)≠0のときx_1-x_2=0
→x_1=x_2→f2は単射→f2全単射
f3
b∈R　に対して　K>1+|b| となる　K があり
f3(-K)=-K(K^2-1)<-|b|≦b≦|b|<K(K^2-1)=f3(K)
f3(-K)-b<0<f3(K)-b でf3連続だから中間値定理により
-K<x<K　,　f3(x)-b=0 となるxがあるからf3は全射
f3(0)=f3(1)=f3(-1)=0 だからf3は単射でない
f4
f4(x)=a^x>0 だから値域は{y|y>0}で全射でない
{x_1,x_2}⊂R & f4(x_1)=f4(x_2)→a^{x_1}=a^{x_2}→x_1=x_2→f4は単射
f5
f5(x)=x^2≧0 だから値域は{y|y≧0}で全射でない
f5(1)=1=f5(-1) だからf3は単射でもない
2
f(g(f(x)))=3(x-2)-2
h(g(f(x)))=sin(3(x-2))
g(h(f(x)))=3(sin(x-2))

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました。
説明により、理解する事が出来ました。
ありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

http://okwave.jp/qa/q5894601.html

と同じ問題で回答もきてるのになぜ放置する？

大学生なんだから，思考停止しないで考えること．
最低限，何をどこまで考えたか表明すること．
そうしないと，
このレベルの「定義を知ってればできる」問題の場合，
どんなに説明しても，無駄になる可能性が高い．

値域については，中学校の教科書を参照すること．
全単射、単射、全射、単射については，大学の教科書を参照すること．
グラフについては高校の数学IIとIの教科書を参照すること．
2の問題については，合成の定義を調べること．

お礼

もっと前回の回答よりもっと具体的な回答がいただけたらいいなと思いもう1つ立ち上げてみました。
中学の教科書、参考書を参照し、もう1度考えてみます。アドバイスありがとうございます。