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集合の問題

集合Aから集合Bへの写像f:A→Bが与えられているとする。 Aの2元a,bについてf(a)=f(b)のときa~bと定義すれば、 関係~が同値関係であることを示せ。 さらにfが全射であれば同値類集合A/~と集合Bは対等であることを示せ。 前半はいいのですが後半がいまいちわかりません。 以下のように示したのですがどうでしょうか? X/~={[x]|x∈X},[x]={y∈X|x~y即ちf(x)=f(y)} これよりg:A/~→B:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。 (well-defined) [x]=[x']とする。この時∀y∈Xについて y∈[x]とすればf(y)=f(x)=f(x')となるのでg([x])=g([x']) よってgはwell-defined (全射) ∀y∈Bとするとfが全射であるから∃x∈A s.t. f(x)=y これよりx∈[x]だから∃[x]∈A/~となるのでgも全射となる。 (単射) g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。 其の逆も言えるので[x]=[y]

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とにかく「定義」に従ってください. 前もそうでしたが, 定義をないがしろにしてる面がありますね. 始めのうちは,とくにこういう抽象的なものは ただひたすら定義に当てはめて素直に考えることをお勧めします. 定義に当てはめてるうちに,その本質がみえてきて いろいろできるようになります. ・定義に当てはめること ・具体例を自分で作ること が理解への早道です. #ちなみにこの「写像による商空間」の具体例を思いつきますか? >X/~={[x]|x∈X},[x]={y∈X|x~y即ちf(x)=f(y)} >これよりg:A/~→B:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。 「X」ではなく「A」ですね. で,かく順番は逆で,つまり, 「well-definedであり,全単射」と書く方がまっとうです. なぜなら,全単射というのはwell-definedであるのが前提ですので #証明の順番はそのものはもちろんOK well-definedの証明: yをもってくる必要はありません. 同値類[x]に対するg([x])の値が,代表元xだけを用いて f(x)と定めてもよいということを示すのが本質です [x]の代表元として 異なるx,x'をとったときにf(x)=f(x')なので g([x])=f(x)と定めても代表元のとり方に依存せずwell-definedです. #本質的に正解なのですが,文字を増やすと #複雑な話のときに混乱がおきます. 全射: >これよりx∈[x]だから∃[x]∈A/~となるのでgも全射となる。 g([x])=f(x)=y だから全射 g([x])を具体的に示して全射の定義に当てはまることを 明示しましょう. 単射: >g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。 単射を証明するには g([x])=g([y])を仮定しますが.いきなり 「=>f(x)=f(y)とすると」までつけると どこまでが仮定なのかが不明確です. また 「f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]」 「逆も言える」 も意味がわかりません. #ちなみに,最初のうちは「逆も言える」とか「同様に」とかで #省略しないで,愚直に全部書くのも重要なトレーニングです. もっとシンプルに定義にしたがって g([x])=g([y])とする. gの定義よりf(x)=f(y) fの定義より x~y したがって,[x]=[y] つまり,gは単射 でしょうか.

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 確かに定義を疎かにしていたと思います。 具体例を自分で考えてみる。ということもしたことがありませんでした。 写像が与える商空間とはどのようなものでしょうか? 例えばf(x)=x^2,A=Rとした時に [x]={y∈R|f(x)=f(y)}={y∈R||x|=|y|} これよりA/~={[x]|x∈R}だから A/~は絶対値が等しい同値類の集合 というものを考えてみましたがどうでしょうか?

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3

ひもをイメージする ------------ <= こんな感じ これが閉区間[0,1]に相当する これの 0 と 1,すなわち「両端」だけをつなげる ここ     ここ |       | ---------------- 0       1 くいっとまるめて,0と1をくっつける ---------- |    | ---------- そうすれば,円周です. もちろん,コンパスで書くような意味での 円周ではありません.しかし きちんと「整形」すれば「コンパスで書くような円周」になるのは 理解できますよね. 空間の構成はこういう風に考えて処理します. 同じようにすると 「トーラス」「メビウスの帯」「クラインの壷」などなど いろいろ具体例がでてきますが 集合論益なものからはすこし離れます. 脱線してきたのでこの辺で.

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  • 回答No.2

No.1です >A/~は絶対値が等しい同値類の集合 はい,そういうので全く問題ありません. こうすると, 「直線」から「半直線」が構成されるのが分かりますね. 幾何的な例を出してみると f(0) = 0 f(x) = x (0<x<1) f(1) = 0 となる関数f:[0,1] -> [0,1)を考えて [0,1]/~を構築すると,これは「円周」になります. #ひもの両端を接着するイメージです 「写像による商空間」は既存の空間から 新しい空間を構成するときの常套手段で, 射影空間も写像をうまく作れば この構成方法によって構築できます.

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質問者からのお礼

すみません。自分で考えてみたのですが、 円周というイメージがいまいち湧かないのです。 このfは0と1が同じ値を取ってそれ以外では全単射ですよね。 そうなると[x]={y∈[0,1]|f(x)=f(y)}を考えてみると、 円周という感じがしないのです。 0,1が同じ同値類の集合に属し、それ以外は一点のみの同値類集合。 何というか半楕円?みたいな図形に思えるのですが…。

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