大学の数学の写像についての問題です。

質問

大学の数学の写像についての問題です。
ヒントだけでもおねがいします；；

f:X→Y が与えられたとき
F:P(Y)→P(X) [Pは冪集合です]
をF(B) := f^(-1)(B) [f^(-1)はfの逆写像です]
で定める,このとき
fが全射 <==> Fが単射であることを示せ

(==>)
仮定より∀y∈Y ∃x∈X y=f(X)
このとき∀B,B'∈P(Y)をとると
fが全射より
∃x,x'∈X ,f({x}) = B ,f({x'}) = B' (?)
このとき
F(B) = F(B')
∴f^(-1)(B) = f^(-1)(B')
⇒f^(-1)(f({x})) = f^(-1)(f({x'}))
⇒{x} = {x'}
⇒f({x}) = f({x'})
∴B = B'
よってFは単射?■

(<==)
さっぱりです。。。

回答No.4

koko_u_u · ベストアンサー

>最初に何をすればいいのかだけでも教えてもらえませんか?

ベン図を書く。

補足に書かれた「証明」からは「わかっていない感じ」がビシビシ伝わってきます。
まずは問題を理解しなければいけません。

お礼

未ださっぱりですが付き合ってくれてどうもありがとうございました。
感謝します。ｍ(、、)ｍ

回答No.3

koko_u_u

⇒ の証明はできていると思います。

さあ、<= の証明はできましたか？
まだ「さっぱりだ」というのであれば、今使用した命題 (*) が理解できていません。

補足

Fが全射より
∀B⊂P(Y) F^(-1)・(F(B)) = B

∴f(f^(-1)・(B)) = B (∵定義より)

∴∀b∈P(Y) f(f^(-1)・(b)) = b ■ 。。。

返信遅くなってすいません。
最初に何をすればいいのかだけでも教えてもらえませんか?

回答No.2

boiseweb

あえて突き放します．

f^(-1) はほんとうに「fの逆写像」ですか？ まずはそれを確かめてください．そうでないなら，f^(-1) という記号はどんな意味で使われているのか，理解してください．
…という私の指摘の意味を，質問者さんが心底理解できない限り，質問者さんは（誰かが親切に解答を教えてくれたとしても）絶対にこの問題の解答を理解できません．

質問者さんが質問文を入力するときに，おおもとの問題文では「f の右肩に -1，それら全体の右に (B)」と書かれているのを表現しようとして「f^(-1)(B)」と入力した，ということは，容易に想像できます．
私の指摘は，その問題文の「f の右肩に -1」の記号は，「f の逆写像」を表す記号として使われているのですか？ ということです．

お礼

写像、また一からやろうと思います。
回答ありがとうございました。

補足

逆像でした。。。

回答No.1

koko_u_u

⇒ の方もさっぱりですね。
適当にベン図とかを書いて、証明の算段をつけてから文章を書いたほうがよいですよ。

補足

もう一度考えたので見てもらいたいです。
お願いします。m(. .)m

(==>)
仮定から fが全射より
∀B∈P(Y) f(f^(-1)・(B)) = B …(*)

∀A,B∈P(Y) をとるとき

F(A) = F(B) とする
∴f^(-1)・(A) = f^(-1)・(B)

両辺に fの像をとり
f(f^(-1)・(A)) = f(f^(-1)・(B))
∴A = B (∵(*))

よって Fは単射 ■