穏当な、数列についての質問です。

質問

複素数列 { a(n) } と { b(n) } について、
Σ[n=1→∞] | a(n) |^2 と Σ[n=1→∞] | b(n) |^2 が共に収束するならば、
Σ[n=1→∞] | a(n) + b(n) |^2 も収束する ことが示せるでしょうか？　…(*)

別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html を見ていて、
気になった問題です。 (*) が言えるならば、
Σ[n=1→∞] | x(n) |^2 が収束するような数列 { x(n) } 全体のなす集合 が、
数列の自然な和と定数倍に関して ユニタリ空間になるように思います。

この空間上の線型写像 T: { x(n) } → { y(n) },　y(0)=0,　y(n+1)=x(n) は、
ベクトルの長さを変えないが、全射ではない実例となります。
「ベクトルの長さを変えないのでTはユニタリ変換」と言えるのでしょうか？

(*) の証明または反例が示せる方、宜しくお願いします。

回答No.3

de_Raemon · ベストアンサー

＞数列の自然な和と定数倍に関してユニタリ空間になるように思います。
このユニタリ空間の基底ですが、私が思いついたのは第k項だけ1でそれ以外は0の数列{Ek(n)} (k=1,2,…)です。
Σ[n=1→∞] | Ek(n) |^2＝1　で　{a(n)}＝Σ[k=1→∞]a(k){Ek(n)} なので基底の資格があるんじゃないかと
思うんですが、数列{z(n)}＝Σ[k=1→∞]{Ek(n)}を考えたときに矛盾が生じてしまいました。

{z(n)}は基底の線型結合なのでこのユニタリ空間の元のはずですが、
{z(n)}の各項の値が1なのでΣ[n=1→∞] | z(n) |^2＝∞ になってしまいます。

質問者さんは基底としてどんな数列を用いたのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。 反省しました。
No.1 お礼に「ヒルベルト空間の」と書いたのは、失言でした。
あれは、「前ヒルベルト空間の」とすべきだったと思います。
「ユニタリ空間」とは、複素スカラーの「前ヒルベルト空間」
のことでしたよね。

ご指摘の { z(n) } は、定義に ∞ を含んでいるので、
それ自身は、l2 空間の元の（有限）一次結合ではありません。
l2 空間の元の一次結合 w_m(n) = Σ[k=1→m] E_k(n) が成す列
{ w_m(n) } の極限、{ z(n) } = lim[m→∞] { w_m(n) } ですね。

l2 の線型性から、各 { w_m(n) } は l2 の元ですが、
その列の極限 { z(n) } が l2 の中で収束するかどうかは、
l2 が「前ヒルベルト空間」であることからは保証されません。
それが保証されるような内積を持つ「前ヒルベルト空間」のことを
「ヒルベルト空間」というのでした。

基底については、質問を up した時点で考えていませんでした。
l2 空間は可算基底を持ちますから、何かひと組見つけた後で、
その基底に対して グラム・シュミットの直交化 を行えば、
新しい基底の上での成分表示は、ご紹介の { E_k(n) } になる
と思います。

補足

興味深い論点を、ありがとう御座います。

回答No.4

noname#87373

回答欄にこのようなことを書くのは、マナー違反だと思いますが、
​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html​
この質問の質問者が私自身であり、あの質問は解決したつもりが、まだしてないのだと思いここに回答しています。本当に偶然この質問を見かけました・・。
早急に質問を締め切ったのを後悔してます・・・。

今日中に前回のような質問を投稿するつもりなので、
この問題が解決したころでも、お暇なときでもかまいませんので、
御意見お聞かせいただけないでしょうか？

図々しいお願いで大変申し訳ないのですm(_ _)m

回答No.2

naozou

(*)は収束しますよ。
l2空間（関数のL2空間の数列版）です。
証明はただの三角不等式、|x(n)+y(n)|^2 は 2(|x(n)|^2 + |y(n)|^2)で抑えられます。

後半のユニタリ性ですが、普通はl2ノルム（距離）を導入します。(Σ|x(n)|^2)^1/2です。それに自然な和といっても、せめて絶対値はとらないと長さになりませんしね。

ちなみに、等長（等距離）変換 = ユニタリ変換という定義でしょうか？
ユニタリ変換の定義は全単射である必要があったような・・・。
l2ノルムでみた場合、質問者の写像は、シフト作用素といわれるものですね。

あ、有限次元ならユニタリと等長性は同値ですけど。たしか。

お礼

回答ありがとうございます。 l2 空間というのですね。

「自然な和と定数倍」は、線型空間の定義のことを書いたつもりでした。
各項ごとの和と定数倍を、数列の和と定数倍とする という意味です。
内積を定義するときに、双線型ではなく、エルミート線型を要請すると、
内積に付随するノルムは、ベクトルのスカラー倍について、自動的に
スカラーの「絶対値倍」になります。

等長変換 = ユニタリ変換？ については、
前出の ​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4831777.html が、その結論で
大団円していることに問題を感じたのが、今回質問の発端です。
質問文に挙げた T が、その反例になると思っています。

補足

ありがとう御座いました。
ポイントが２ヶ所しか付けられないので…スミマセン。

回答No.1

Tacosan

複素数なので, |a(n)|^2 というのは「a(n) とその共役との積」でいいでしょうか. そうなら, (*) は多分成り立ちます.
Σ[n=1→∞] |a(n)|^2 と Σ[n=1→∞] |b(n)|^2 はどちらも全ての項が非負の級数なので絶対収束してます. あとは Cauchy-Schwartz |a+b|^2 ≦ 2(|a|^2+|b|^2) で終わり.
無限次元だといろいろあるんですよ....

お礼

回答ありがとうございます。やっぱり、そうですよね。
ヒルベルト空間のヒルベルト無限ホテル という洒落で構成してみました。
WXWXWA さんの目に留まるとよいのですが…。