線形代数

質問

線形写像が全射・単射である条件を行列を用いて説明するのですが、どのようにして説明すればいいでしょうか？具体的に行列を用いて線形写像が全射・単射である条件を説明をするとなると全くわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

tinantum · ベストアンサー

行列の場合の全射・単射性は以下のように言い換えることができます：

(1)「行列Aが単射である」⇔「VA = I を満たす行列Vが存在する」
(2)「行列Aが単射である」⇔「AV = I を満たす行列Vが存在する」

証明も必要でしょうか？ちなみに，(1)と(2)は同値になり，行列の場合は全射か単射のどちらかをいえば，自動的に全単射になります．

お礼

本当にありがとうございます。しかし、この意味を私なりに解釈すると、逆行列と同じような気がするのですが…。私の質問の仕方が悪かったのですが、ここでは、具体的な"数値"を使い、線形写像（ベクトルの和とスカラー倍を保つ写像）が単射、全射である条件を説明するというもので、差し支えがなければ、また教えていただけないのでしょうか？

回答No.2

adinat

通りすがりですが、少しだけコメントしておきます。全射や単射の同値な言い換えはいくらでもあるので、どれを使えばよいのかは問題ごとに適切なものを選べばよいのです。一応無限次元ベクトル空間だと単純ではないので、有限次元ベクトル空間V上の話に限定します。もちろんそのおつもりなのでしょうけれど。

線形写像fが全射⇔線形写像fが単射⇔fの行列表示A_fがfull rank⇔fの行列表示A_fの各行ベクトルが1次独立⇔fの行列表示A_fの各列ベクトルが1次独立⇔fの行列表示A_fの行列式が0でない

お礼

ありがとうございます。線形写像が単射・全射である条件がどのようなものであるかわかりました！折り入ってお願いなのですが、線形写像が単射・全射であるためにはこの条件をなぜ必要とするかという証明もできれば教えていただきたいのですが、よろしいでしょうか？