線型代数 次元

質問

行列A∈M_m,n,(K)とし、dim{x∈K^n|Ax=0}=n-rankAが成立することを認め、

(1)n＞mのとき、方程式Ax=0は必ずx=0以外の解を持つことを示せ。
(2)m=nのとき、「方程式 Ax=0の解はx=0のみである」⇔rankA=nを示せ。
(3)m=nのとき、「方程式 Ax=0の解はx=0のみである」⇔行列Aで定まる線形写像fA:K^n→k^mは全射であることを示せ。またこの同値条件が成り立つとき、Aは正則であることを示せ。

一問でも分かるか違いましたら教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

misumiss

AX = 0 とかけば, この問題に即して考えれば, X は n次元列ベクトル, すなわち, K^n の元と解釈するしかないが, その場合, dim X なんて定義できない.

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

解と解の次元とrankと正則の関係
(A) dimX>0 → AX=0は自明解以外の解を持つ
(B) dimX=0 → AX=0は自明解以外の解を持たない
(C) m=n=RankA → 正則(=逆行列が存在)

を全て認めるならほとんど自明。
そうでなければ長大な証明が必要でしょう。
解が何を求めているか確認して下さい。

(1) 示された定理 + (A)
(2) 示された定理 + (B)
(3) (C)。全射とはこの場合Aに逆行列があることだから正則と同値。

回答No.1

misumiss

(1) は, 未知数の数と rank(A) の大小関係を考えれば, 明らかです.
(2) は, 線型代数の本には必ずかいてあることで, 必ずしも m = n である必要はなく, 条件を m ≧ n にまで弱めることができます.
実は, n ＞ m でも, 問題ありません.
(3) は, dim(Im(f_A)) = rank(A) より, 明らかに同値で, rank(A) = n より, A が正則なのも明らかです.