線形代数の証明問題です！

質問

線形代数（最少多項式について）の証明問題です。どうしても解りません・・
よろしくお願い致します。

「ｎ次正方行列 P１，P２，…，Pｎ が条件
Pi＾２＝Pi≠O (i=1,2,…，n) PiPj=O (i≠j, 1≦i≦n, 1≦j≦n)
∑Ｐｉ＝Ｅ （ｉは１からｎ） (但し、Oはn次零行列、Eはn次単位行列とする。)
を満たすとする。
次に、互いに異なる実数 a1, a2,…,an に対し、行列Ａを
A=∑ａｉＰｉ （ｉは１からｎ） で与える。
この行列Aについて次の命題を証明せよ。」

命題１ X を変数ベクトル、B を定ベクトルとする。
連立一次方程式 AX=B が解をもつための必要十分条件は 、
ａｉ=0を満たす全ての番号 i に対して Pi B=0 が成り立つことである。

命題２ Aの最小多項式は (x-a1)(x-a2)…… (x-an) となる。

回答No.3

euc107 · ベストアンサー

意味が分かったので説明します。

まず必要性は証明されてるようなので十分性を示します。
簡単のためan＝０と仮定します。
この時基底をうまいこと取ることによって、Ａを対角行列にしてＢのｎ成分を０にすることができる。
したがってＡＸ＝Ｂが解をもつのは明らか。

お礼

回答ありがとうございます。参考にさせて頂きます！

回答No.2

euc107

命題１はよく意味が分からないので、命題２だけ回答します。

Ｐｉ の固有値は１なので、ａｉＰｉの固有値はａｉ。
したがってＡの固有値は a1, a2,…,an となる。
a1, a2,…,an は互いに相違であり、Ａはｎ次行列なので
最少多項式は命題２に述べているようになる。

回答No.1

Tacosan

「どうしても解りません」ということですが, ではどう考えてどこでつまったのでしょうか?

あと, 命題1 はなんかおかしくないですか? a1, a2, ..., an は「互いに異なる」のだから, 「ai = 0 を満たす」ような i は高々 1つしかありませんよね.

お礼

回答ありがとうございます。

命題１に関しては、まずAX＝Bが解を持つとすると、ai＝０を満たす全ての番号iに対して
PiB＝PiAX
　　＝Pi(ΣakPk)X　（kは1からn）
　　＝Pi(a1P1＋a2P2＋…＋anPn)X
条件より、
　　Pi(aiPi)X＝(aiPi)X
いま、ai＝０より
(aiPi)X＝０
よってAX＝Bが解を持つとすると、ai＝０を満たす全ての番号iに対してPiB＝Oが成り立つ
次にai＝０を満たす全ての番号iに対してPiB＝Oが成り立つとすると、条件より
　　B＝O
…この後Xが解を持つことを示したいのですが、どうやって示せばよいのか悩んでいます。

命題２に関しては、どう考えればよいのかわからず手も足も出ない状態です。

＞あと, 命題1 はなんかおかしくないですか? a1, a2, ..., an は「互いに異なる」のだから, 「ai = 0 を満たす」ような i は高々 1つしかありませんよね.
ご指摘ありがとうございます。確かに矛盾しているような気がします。
単にai＝０として考えていました…私の注意力不足です。すいません。