線形代数の収束問題 3日悩んでます

質問

初めまして。3日間同じ問題に悩み続けて、教えてgooに初めて投稿させていただきます。

線形代数の収束の問題です。本当に困っているので、助けてください。よろしくお願いします。

m×m（m>1）の実行列Aに関する以下の命題が成立する場合は証明、
成立いなければ反例を具体的に述べろというものです。

||Ｘ||はＸ＝t(x1,x2,x3,・・・ｘｍ)に対して、√（ｘ１^2+ｘ2^2+ｘ3^2+・・・+xmｘ^2）を表しています。

（３）Aが相異なるm個の実固有値を持つ時、以下で定まるベクトルの列　U0,U1・・・、は任意のm次元実ベクトルbに対して収束する

U0=b

Un+1=AUn/||AUn|| (||AUn||　not equal 0の時)
　　　　=0 (||AUn|| = 0の時)　　　　　　　　（n=0,1,2・・・）

（４）Aの固有多項式がm重根を持ち、それが正の実数の時、以下で定まるベクトルの列　U0,U1・・・、は任意のm次元実ベクトルbに対して収束する

U0=b

Un+1=AUn/||AUn|| (||AUn||　not equal 0の時)
　　　　=0 (||AUn||=0の時)　　　　　　　　（n=0,1,2・・・）

（※この問題の前に2題の証明問題があり、私が解いてみました。
１、Aが相異なるm個の実固有値を持つ時、対応する固有ベクトルは線形独立であるか
⇒線形独立である
２、Aの固有多項式が重根を持つとき、Aは対角化可能ではないかどうか
⇒その重根の重複度がその固有値の固有空間の次数に等しい時のみ、対角化可能である）

おそらく
（３）は反例として以下があるかと考えています。
A=
(-1 0)
( 0 0)
b=
(1)
(0)
このとき，
u_n=
((-1)^n)
(0 )

（４）固有値αが１より小さい時に、ジョルダン標準形が０に収束することが背景にあるのかと考えていますが、全くわかりません。

以下稚拙な文で読みづらいかと思いますが、お力を貸していただけないでしょうか。
回答お待ちしております。

回答No.4

noname#171951

適当に変数変換するとA=aE+N（a>0,N^m=0,Eは単位行列)
となるから最初からこの形を考える。

u_nは計算しづらいのでv_n=(A^n)bを考える。
するとv_n/||v_n||=u_nとなる。

以下、乱暴な推論です。

たとえばNの第(i,i+1)成分が全部1とかなら、
v_nの第k成分
=(a^k)(x_k)+n(a^(n-1))(x_(k+1))+…+combination(n,m-k)(a^(n-m+k))(x_m)
のようになって、v_nの第k成分/||v_n||で分母分子を
combination(n,m-k)(a^(n-m+k))で割るとk=1のとき極限が1
になってk>1のとき極限が0という感じで案外綺麗に極限が
計算できそうです。
きっちり証明しようとすると大変そうですが。

回答No.3

ramayana

（４）について、次の方針で証明するのはどうでしょうか。でっちあげなので、どこかで間違っているかもしれません。

（イ）　b の第m要素が 0以外で、かつ、A が1ブロックのジョルダン標準型の場合について、まず証明することとする。なお、「A が1ブロックのジョルダン標準型」とは、A のij 要素a[ij] が次のように表されるということ。

a[ii] = λ　（λ > 0、 1≦i≦ m）
a[i j+1] = 1 （1≦i≦ m）
a[ij] = 0 （上以外のとき）

（ロ）0以外のベクトル X に対して X/||X|| を対応させる写像をFとすれば、

Un = F((A^n)b)

である。

（ハ） A^n の ij 要素を a[n;ij] と記すことにすると、

a[n;ij] = C(n, j-i)λ^(n+i-j)

である。ただし、C(n, j-i) は、次のように定まる数値である。

C(n, j-i) = 「n 個からj-i 個選ぶ組み合わせの個数」　（0≦ j-i ≦ n のとき）
C(n, j-i) = 0 （上以外のとき）

（ニ）(A^n)b の各要素は、n の多項式で表わされる。一番次数が大きいのは、第1成分であって、その次数は、m-1 である。

（ホ）(n^(-m+1))(λ^(-n))(A^n)b は、n→∞のとき、0以外のベクトルに収束する。

（へ）一般に、要素がnに依存するベクトルX(n)があったとする。n→∞のとき、もし、X(n)が0以外のベクトルに収束するなら、F(X(n))も一定のベクトルに収束する。

（ト）Un = F((A^n)b) = F((n^(-m+1))(λ^(-n))(A^n)b) だから、（へ）により、Unは、収束する。

（チ）（イ）の条件を満たさないときも、以上の手順を応用して証明できるはず。

回答No.2

Tacosan

(4) だけど, 「固有値αが１より小さい時に、ジョルダン標準形が０に収束する」の意味が分かりません.

てきと～に考えると, ジョルダン標準形に直して成分計算でそれっぽいことになりそう.

回答No.1

muturajcp

(4)
b=
(2)
(0)
A=
(1,0)
(0,1)
このとき
n≧1に対して
U_n=
(1)
(0)
となるからbには収束しない

|A|≠0とする
||b||≠1,&,||b||≠0
となるbに対して
||AU_n||≠0
||U_{n+1}||=||AU_n/||AU_n||||=||AU_n||/||AU_n||=1
だから
lim_{n→∞}||U_n||=1≠||b||
だから
U_nはbに収束しない