線形代数学

質問

次の線形作用素Ｔで与えられるスペクトルを求めよ。また、Ｔの固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。
Ｔ（a0 + a1x + a2x^2）= (2a0 + a1) + a1x + (2a0 + 2a1 + a2)x^2
※a0,a1などは、エーワン、エーツーをあらわしています。うまい書き方がわかりませんでした。

工学部の者なんですが、線形代数の授業をとっています。近くテストがあるのですが、何分畑違いなもので苦労しています。回答を教えていただけると大変参考になります。

回答No.2

ojisan7

すみません。計算ミスをしていました。訂正させて下さい。
λ＝２に対する固有空間の次元は、
rank(T-2E)＝2ですから、３－２＝１で１次元で、固有ベクトルは、c(1 0 2)ですから、
即ち、c(1+2x^2)となります。これは、正しいと思います。

λ＝１に対する固有空間の次元を間違えてしまいました。以下のように訂正します。
rank(T-E)＝1ですから、３－１＝２で２次元になります。固有ベクトルは、,c1(1 -1 0)ですが、もう一つこれと独立なベクトルc2(1 -1 1)をとりましょう。（この場合、第３成分は不定ですから任意にとれますね。）
したがって、c1(1-x)とc2(1-x+x^2)が固有値１に対する固有ベクトルです。

すみませんでした。

回答No.1

ojisan7

ルール違反になるといけないので、考え方だけ簡単に示しておきます。
線型空間の基底を<1,x,x^2>とすると、Tを行列で表現できます。T＝(t_{ij})とすると、
t11=2,t12=1,t13=0
t21=0,t22=1,t23=0
t31=2,t32=2,t33=1
となりますね。
固有方程式
|T-λE|＝０を解くと、スペクトルが求まると思います。計算してみて下さい。
ちなみに、スペクトルは{1,2}となりますか？１は固有方程式の重根になっていますね。
λ＝２に対する固有ベクトルは、c(1 0 2)ですから、
即ち、c(1+2x^2)となりますね。
λ＝１に対する固有空間の次元は計算してみると、１次元になりますので、固有ベクトルは,c'(1 -1 0)となり、
c'(1-x)が固有ベクトルだと思います。
あとは、ご自分で考えて下さい。