線形代数学の証明問題について…

質問

a[i](i=1…k)をn×1のk個のベクトルであるとする。
(1)Ａをm×n行列とする。a[1],…,a[k]が線形従属とすると、Ａa[1],…,Ａa[k]も従属であることを証明せよ。

(2)Ａをｎ次正則行列とする。a[1],…,a[k]が線形独立とすると、Ａa[1],…,Ａa[k]も独立であることを証明せよ。

rankを持ち出したり、Σをつかってみたりしたのですが上手くいかなくて…。誰かお願いします。

回答No.1

noname#44733 · ベストアンサー

線形従属＝１つを他の線形結合で表せる
これを使えばいいです。
あと、（行列とベクトルの）行列積については分配則が成り立ちます。

だいたいの方針。（Σは１からn-1までの和）
(1)Aa[n]=A(Σc[k]a[k])=Σc[k](Aa[k])
(2)対偶を示す。Aは正則だから逆行列が存在する。Bとおく。
a[n]=BAa[n]=BΣc[k]Aa[k]=BAΣc[k]a[k]=Σc[k]a[k]

というかんじでよいのではないでしょうか？

お礼

返事遅れて申し訳ありません；

「線形従属＝一つを他の線形結合で表せる」というのは盲点でした。
なんとか自分なりに解けそうです。本当にありがとうございました。

回答No.2

zk43

a1,…,akが線形従属ならば、このうちのどれかは他の線形結合で表せる。
例えば、それをa1とすると、a1=c2a2+…+ckakと表せる。
ここに、ciはスカラ－でどれか一つは0でない。
両辺にAを施すと、
Aa1=c2Aa2+…+ckAak
Aa1がAa2,…,Aakの線形結合で表わせたので、Aa1,…,Aakは線形従属。

c1Aa1+…+ckAak=0として、両辺にA^(-1)を施すと、
c1a1+…+ckak=0
a1,…,akは線形独立なので、c1=…=ck=0。
すなわち、Aa1,…,Aakは線形独立。

お礼

返事遅れて申し訳ありません；

やっぱり「線形従属ならば～」というのがポイントなんですね。
（２）の方も良くわかりました。本当にありがとうございました。