線形代数の証明

質問

n×n行列の第j行のc(≠0)倍を、その第i(≠j)行に加えても行列式が変化しないことを行列式の線形性を使って証明しなさい。

回答No.5

noname#221368 · ベストアンサー

#4です。交代性も使わないと無理だと思います。

回答No.4

noname#221368

#3です。#3は明らかに間違い。申し訳ない・・・。

　安易だった・・・。

回答No.3

noname#221368

#2です。

　あえてなんですね。でもそこまで強烈に書いてあると、出題者の趣味なのかな？、教育上の配慮なのか？(^^;)。

　以下は「気づいた者勝ち」の解法なので、いま思いつけなくても大丈夫です。そのうち慣れます。

　#2の添付図の2番目の式を移項します。fの後の( )を省略して、

　　(c－1)・f＝0

ですよね？。よってc≠1ならf＝0。ところがfの値はcの値に明らかに依存しないので、c＝1の時も含めてf＝0．

回答No.2

noname#221368

前の質問が解決になっていたので、前については納得したと考えて回答します。最初は思いつかないかも知れないので・・・(^^;)。

　n×n行列を横ベクトルの集まりとみなし、(a[1]，a[2]，・・・，a[n])で表します。ここで[ ]は下付き，a[j]はj行を表すn次の横ベクトル。

　行列式の線形性を使うと、添付図の最初の式になります。よって「赤枠＝0」を示せばOKです。赤枠にまた線形性を使うと、2番目の式になり、2番目の式の「赤枠＝0」を示せばOKです。

　3，4，5番目の式は、その証明。

　1)i行とj行の中身は同じですが、それらを交換したと考えると、交代性からfの符号が変わります。
　2)右辺を移項してfに関する代数方程式として解くと・・・。
　3)＝0。

　実情は交代性も使いますが、線形性は必ず使うので、問題文に問題はない。出題者はこういう作業に慣れ切っているはずなので（基本だから）、交代性を書き落としたか、あえてやったなら「ちょっと意地悪」・・・(^^;)。

補足

丁寧な質問ありがとうございます。

問題文を改めて確認したところ、逆に「線形性のみを用いて証明せよ」とのことでした。

回答No.1

noname#221368

一つ前の質問をクリアだきれば、これはその応用問題です。