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線形代数について

線形代数の質問です。 次の変形定理を用いて以下ののことを証明せよ。 任意の行列A≠Oは適当な行基本変形を何回か行うことにより、必ず階段行列Bに変換できる。このとき、Bはある正則行列Pを用いて B=PA と表せる。 問．Aを正方行列とするときAX=IとXA=Iは同値であることを証明せよ。ただしIは単位行列。 大学の課題で出されたのですが、授業ではまだやっていないので教科書をよんでもイマイチわかりません。なにかヒントとかで良いんでどなたか教えていただけませんか？ この質問に補足する

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

成分計算をしてみると、 階段行列 B が正則となる必要十分条件は、detB ≠ 0 である ことが判る。 よって、質問文中の「変形定理」により、 O でない行列 A が正則である必要十分条件は、detA ≠ 0 である ことが従う。 AX = I を仮定すると、 (detA)(detX) = 1 より detA ≠ 0 だから、A^-1 が存在する。 よって、XA = IAX = (A^-1)AXA = (A^-1)IA = I. 逆も同様。

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