線型代数

質問

大学の講義で出題された線型代数に関する問題についての質問です。

＜問題＞　※Ｉは単位行列
Ａをｎ次正方実行列とする。ｔＩ－Ａが正則行列となるｔ∈Ｒに対して、Ａ（ｔ）＝（ｔＩ－Ａ）＾－１とおく。
［１］　Ａ（ｔ）が存在しないｔ∈Ｒは高々ｎ個であることを示せ。
［２］　また、それら以外のｔ∈ＲについてＡ（ｔ）は連続関数であることを示せ。
［３］　さらに、Ａ（ｓ）－Ａ（ｔ）＝（ｔ－ｓ）Ａ（ｔ）Ａ（ｓ）を示せ。

［１］については「ｔＩ－Ａの逆行列が存在しないのはｎ個のｔ（実数）のときだけであることを証明せよ」という題意は分かりましたが、その手順がまったく思い浮かびません。

［２］については「連続関数」の定義すらよく分かりませんので、無論証明の手順は思いつきません。

［３］についても題意は理解したつもりですが、証明手順が分かりません。

全くの初心者にも分かるようなきめ細やかな証明手順の説明をお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

(2) はどうするのかなぁ? 簡単な (1) と (3) のヒントだけ:
(1): 任意の正方行列 X に対し「X が逆行列を持つ ⇔ det X ≠ 0」であることを思い出してください. det(tI - A) = 0 となる t は何個ありますか?
(3): A(t)^-1 = tI - A と A(s)^-1 = sI - A が可換ですから, A(t) と A(s) は可換です. そして,
A(s)^-1 = A(s)^-1 A(t)^-1 A(t) = A(t)^-1 A(s)^-1 A(t) であることから
A(t) A(s)^-1 = A(s)^-1 A(t),
つまり A(t) と A(s)^-1 も可換です. そこで [A(s) - A(t)] A(t)^-1 A(s)^-1 を計算してみてください.

お礼

ご回答いただきありがとうございました。参考になりました。

回答No.2

Tacosan

(2) はどうも行列できれいに書けなかったので成分で勝負.
とはいえ, 成分で勝負しちゃえば話は簡単で
(tI - A)^-1 の各成分は「分母が t の n次式, 分子が t の高々 n-1次式であるような有理式」である
ことに注意すれば, あとはそのような有理式が連続かどうかを考えるだけになります. で, これは分母の零点以外で連続です (微分できるから).
っつ～か, 「全くの初心者」というならテキストを読もうよ.

お礼

ご回答いただきありがとうございました。参考になりました。