次の線形代数の問題をお教えください。よろしくおねがいします。

質問

次の線形代数の問題をお教えください。よろしくおねがいします。

問１、Aをｎ次歪エルミート行列とする。
　　 このとき、I ＋ A　は逆行列を持つことを示せ。
　　 ただし、エルミート行列があるユニタリー行列によって実対称行列に相似変換可能なことは証明な　　　しでつかってよい。

問２、ｎ次複素ベクトル空間C（ｎ）を考える。
　　 n次複素行列Aによる線形写像を

　　　　ｆA　：　ｘ∈C（ｎ）　｜→　Aｘ∈C（ｎ）

　　 とし、ｆAの核を　KerｆA　であらわす。
　　 C（ｎ）の部分集合に対して、ｆA（V）でそのｆAによる像をあらわす。
　　 特に、V＝C（ｎ）のときのｆA（C（ｎ））をImｆAであらわす。
　　 Ker ｆA　　と　Im fA　はそれぞれC（ｎ）の線形部分空間となる。

　　 １、ｆA（ImｆA）　＝　ImｆA　を示せ。

　　 ２、（ker ｆA）　U　（Im ｆA）　＝　C（ｎ）　と、　（ker ｆA）　∩　（Im ｆA）　＝　 ｛０｝　が成立することをしめせ。

　　 ３、ker ｆA　≠　｛０｝　ならば、ker ｆAの定義からAが零固有値をもつことがわかる。
　　　　 では、Aが零固有値をもつとき、Aの固有方程式における零固有値の（代数的）重複度と
　kerfAの次元とは等しいか否か。理由をつけてこたえよ。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

問1.
A=
( 0,i)
(-i,0)
A~をAの共役
とすると
-A~=A
だから
Aは歪エルミート行列となるが
|I+A|=
| 1,i|=1-i(-i)=1+i^2=0
|-i,1|
だから
I+Aの逆行列は存在しないので問題が誤っている

問2
A=
( 1, 1)
(-1,-1)
とすると
ImfA={(x,-x)|x∈C}
( 1, 1)( x)=(0)
(-1,-1)(-x).(0)
fA(ImfA)={0}
だから

1.fA(ImfA)≠ImfA

kerfA={(x,-x)|x∈C}
だから

2.(kerfA)∪(ImfA)≠C(n)
(kerfA)∩(ImfA)≠{0}
3.dim(kerfA)=1≠2=(Aの固有方程式における零固有値の重複度)
なので、1.2は問題が誤っている
ただしtA~をAの転置共役行列
◎を直積
とすると
ImfA∩kerftA~=ImftA~∩kerfA={0}
ImfA◎kerftA~=ImftA~◎kerfA=C(n)
ImfA=ImfA(ImftA~)
は成り立つ。詳細は
http://okwave.jp/qa/q6090993.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6090993.html

お礼

ありがとうございました。助かりました。