線形代数

質問

n次の正方行列A=aij,aij=a(i=j),1(i≠j)のときdetAを求めよという問題なのですが、どのようにしてｎ次の正方行列の行列式を求めればよいのかわかりません。どなたかお願いします。

回答No.3

mtaka_2007 · ベストアンサー

このような問題は、2次、3次で解いてあたりをつけるのが正道です。
2次であればdetA=a^2-1=(a-1)(a+1)で、3次であればdetA=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)です。
従って(n+1)次であればdetA=(a-1)^n(a+n)でないかと推測されます。
証明は帰納法でOKと思います。最初の行を余因子で展開すると、１行1列目は、a×（n次のdetA）となります。その他は、マイナスの(n-1)乗の(a-1)がn個あります（-n×(a-1)^(n-1)）ので、これを足せば上の式になります。

お礼

なるほど～このようなやりかたもあるのですね。とてもよくわかりました。

回答No.4

HANANOKEIJ

第１行から、第n-1行まで、第ｎ行を引いてください。
(a-1)でくくってください。n-1個ありますから、(a-1)^(n-1).
第ｎ列に(-1)がn-1個あります。それを消すために、第ｎ列に、第１列、第２列と、第(n-1)列までを順番に加えていきます。
そうすると、(n-1)次の単位行列の形と、ｎ行が、1,1,・・・,a+n-1
の形の行列式になります。
答え：(a-1)^(n-1)×(a+n-1)

お礼

なるほど。このように手順がうまく踏めないんですよね。がんばってなれていきます！ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

とりあえず 2行目～n行目を 1行目に足してみる.

回答No.1

HANANOKEIJ

手っ取り早く、演習書でさがすか、地道に、知っている公式で使えそうなものを試してみる。n次の正方行列A=aijをノートに書けますね。
detAも書けますね。
ご自分で、ここまで考えた、という記述がないと、問題の丸投げで、削除されます。

補足

｜a11111…1｜
｜1a1111…1｜
｜11a111…1｜
　　　・・・
｜111111…a｜　がdetAです。

演習書の問題なんですけど、いきなり答えが書いてありよくわからないので質問させていただきました。ある行からある行を引くなどいろいろやってみましたがどうしても答えが一致しなかったので・・・