次元に関する証明

質問

Vをベクトル空間とする。
(1)Vにはｎ個の線型独立なベクトル x1,x2,…,xn が存在する。
(2)Vの n+1 個のベクトル y1,y2,…,yn+1 は線型従属である。
このとき、dimV = n であることを証明したい。

(2)から線型関係の式を作り、yは線型従属であることと、n項までのスカラー(a1,a2,…,an)は線型独立であることより an+1≠0 。
次に、上で作った式から yn+1 = （略）にして、
y1,y2,…,yn がVを生成し、線型独立であることを確認して、dimV=n

という風（分かりにくい説明ですみません）に証明しようと思うのですが、この考え方でいいのでしょうか。
また、ベクトルx,yをうまく用いた、（きれいな）証明を教えてください。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>(2)Vの n+1 個のベクトル y1,y2,…,yn+1 は線型従属である。

これがまずいです．おそらく
Vの「任意の」n+1個のベクトルは線型従属である
ではありませんか？

以下，これを前提とします．

>n項までのスカラー(a1,a2,…,an)は線型独立であることより
これは意味はありません．
スカラーに対して「線型独立」というのはありません．

>y1,y2,…,yn がVを生成し、
生成しません．

そもそも独立なのはx1，・・・xnです．
y1，・・・，yn+1は従属ですし，
y1，・・・，ynは独立とは限りません．

==================
Vの任意の元 y をとる．
(2)より x1,x2,…,xn,yは線型従属であるので，
（ここで(2)に「任意」というのが必要になる）．
a y + a1 x1 + ・・・ + an xn =0 ・・・(A)
としたときに
a，a1，・・・，anのどれかに0ではないものがある．・・・(B)
もし，a=0だとすると，a1 x1 + ・・・ + an xn =0 となり
(1)より a1=・・・=a2=0 これは(B)に反する．
したがって，aは0ではない
(A)において，aで割ることによって，
yはx1，・・・，xnの一次結合で表せる．
したがって，
Vの任意の元はx1，・・・，xnで生成できる．
(1)よりx1，・・・，xnは一次独立．
すなわち，x1，・・・，xnはVの基底であり
よって dim V = n

お礼

わかりやすく証明していただいてありがとうございました。
自分の作った証明と比べて、その簡潔さは一目瞭然です。

私も早く、簡素で美しい証明ができるようになりたいです。

回答No.1

noname#221368

もしこれが、レポートか何かの問題だったら、講義の状況によるのですが、次の定理は使えませんか？

［次元の一意性定理］
　有限次元ベクトル空間Ｖの次元dim(Ｖ)は、Ｖから取れる独立なベクトルの最大本数である。この最大本数は、独立なベクトルの取り方によらない。

　これが使えるなら、(1)，(2)より、dim(Ｖ)＝ｎは自明となります。この定理の証明ですが、じつはzoku0855さんの手順通りになります。きれいな証明という事ですが、実際上記定理の証明は、基底変換行列の逆行列を、行列式も整備しないままやるようなものなので、正直にやると、やたらとこ汚いものです。自分もきれいな書き方があるなら、知りたいです。

お礼

私も最初はddtddtddtさんと同じことを考えました。
定義を証明するような感じで戸惑いました。

中・高生の時は証明が苦手で、今になって証明の重要さを
痛感しています。
回答ありがとうがざいました。