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シュヴァルツ不等式、三角不等式(複素数)の証明
x,yは成分が複素数の列ベクトル (1) 任意のn項列ベクトルについて |(x|y)|=||x||・||y||⇒xとyが線型従属、つまりxとyの成分が比例する の証明がわかりません (2) (x|y)+(y|x)≦2|(x|y)|となる理由がわかりません 任意のn項列ベクトルについて ||x+y||=||x||+||y||⇒xとyが線型従属、つまりxとyの成分が比例する の証明がわかりません
- shoichi_0313
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- tmppassenger
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(1) （今y≠0として）つまり、a=(y|y), b=-(x|y)としたとき、|x|^2 |y|^2 - |(x|y)|^2 = (1/(|y|^2)) * |ax+by|^2 なのだから、|x||y| - |(x|y)| = 0 ⇔ |x|^2 |y|^2 - |(x|y)|^2 = 0 ⇔ ax+by = 0 （但し、a=(y|y), b=-(x|y)）⇔ x = (-b/a) y （a≠0に注意）→x=kyなるスカラーkがある。一方、x=kyなるスカラーkがあるときは、b=-k(y|y)となるから、確かにx=(-b/a)yとなるから、上の⇔を逆にたどれば|x||y| - |(x|y)| = 0 となる。 (2) (x|y) = c+di (iは虚数単位）としたとき、(y|x) = c-diだから (x|y)+(y|x) = 2c。一方、|(x|y)| = (c^2+d^2) ^ (1/2) ≧c。 (2)の式変形の過程を見ると、||x+y||=||x||+||y|| であるためには、(2)で≦となっている2箇所が両方共 = になるのが必要十分なので、||x+y||=||x||+||y|| ⇔ (x|y) + (y|x) = 2|(x|y)| かつ、|(x|y)| = |x||y|であることが分かる。この内、|(x|y)| = |x||y|であるのは、(1)でやった通り、（今y≠0として）x=kyと書ける時。さらに (x|y) + (y|x) = 2|(x|y)| となるのは、k+k* = 2|k|となるとき(k*はkの複素共役）だから、kが非負実数の時に限る。
お礼
比例の定義は「変数x,yが0でない定数kでx=kyの関係を満たすこと」らしいのですが、(1)でx=0の時も|x||y|=|(x|y)|を満たし、y≠0の時、k=0でないと成り立たないのですが、これは比例にならないですよね x,yの成分が比例する⇒xとyが線型従属 ですが、写真の「xとyが線型従属、すなわちx,yの成分が比例するとき」ではなく「xとyが線型従属のとき」とするのがいいと思うのですが、どう思いますか？
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お礼
kが実数でも、aとbは虚数になりうるので異符号、同符号の概念がない気がします。