• ベストアンサー

シュヴァルツ不等式、三角不等式(複素数)の証明

tmppassengerの回答

  • ベストアンサー
回答No.2

まあ、証明を見れば、『ここでの』「xとyが比例する」の意味は分かるので、それでいいんではないでしょうか。 要は、(1)では、等号成立はxとyが一次従属の時、(2)ではさらにax+by=0なるa,bがあって、aとbのどちらかは0でなく、さらにa, bは同符号ではない時、となります。

shoichi_0313
質問者

お礼

kが実数でも、aとbは虚数になりうるので異符号、同符号の概念がない気がします。

関連するQ&A

  • 次元に関する証明

    Vをベクトル空間とする。 (1)Vにはn個の線型独立なベクトル x1,x2,…,xn が存在する。 (2)Vの n+1 個のベクトル y1,y2,…,yn+1 は線型従属である。 このとき、dimV = n であることを証明したい。 (2)から線型関係の式を作り、yは線型従属であることと、n項までのスカラー(a1,a2,…,an)は線型独立であることより an+1≠0 。 次に、上で作った式から yn+1 = (略)にして、 y1,y2,…,yn がVを生成し、線型独立であることを確認して、dimV=n という風(分かりにくい説明ですみません)に証明しようと思うのですが、この考え方でいいのでしょうか。 また、ベクトルx,yをうまく用いた、(きれいな)証明を教えてください。

  • 線形代数 基底、線形従属について

    Vをベクトル空間とする。n個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xn(Vの要素)がVの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルy(Vの要素)を加えたx1,x2,…,xn,yが線形従属となることである。このことを証明せよ。 どのような流れで証明すれば良いのでしょうか? よろしくおねがいします。

  • ベクトル 不等式の証明

    (1)2x・y≦|x|^2+|y|^2 (全部ベクトルです)を証明せよ。 (2)aを定ベクトルとし、|x|^2+a・x≦1に属する任意のベクトルxとyと任意の実数t(0≦t≦1)に対して、ベクトルtx+(1-t)yは|x|^2+a・x≦1に属することを証明せよ。 この問題に取り組んでいます。 (1)|x-y|^2≧0に持っていって証明してはだめでしょうか? |x||y|とxyを同じものとしてはやはりダメかなと思ったのですが・・・。 (2)なのですが、問題がうまく理解できません。その集合に属するということを示すということはどういうことなのでしょうか?何か考える上でのアドバイスをいただければ幸いです。 回答よろしくお願いします

  • 線形代数の問題

    大学の線形代数の問題です。 これがよく分かりません。 方針だけでも教えていただけませんか>< 問.Vをベクトル空間とする。n個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xn(Vの要素)がVの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルy(Vの要素)を加えたx1,x2,…,xn,yが線形従属となることである。このことを証明せよ。

  • 列ベクトルの線型従属性を最小化する変換法

    度々お世話になります。下記の行列の問題で悩んでおります。 <問題> 既知のM×N実行列Xと,適当なN×K実行列Aを用いて, Y = X A Z = exp(X A) を計算する状況にあります。ただし,N < K < M, rank(X) = N です。また,exp()は()内の行列の各要素に対する演算です。 このとき, (1) Yの各列ベクトル間を可能な限り線型独立に近づける (2) Zの各列ベクトル間を可能な限り線型独立に近づける には,それぞれAを,どのように設定すればよいでしょうか? <自分で考えたこと> ○ (1)について,N < Kなので,Yの列ベクトルは線型従属であり,完全な線型独立は実現し得ない。 ○ (1)(2)について,相関係数行列を用いるような,何らかの線型独立性の指標を,数値的に最小化する,という方法はありそう。指標として何が適切かは不明。

  • 基底の存在性の証明について

    ε=<u_1, u_2, ... , u_k>が (εがWの基底であるための1つの条件) ・Wの任意の元はεの元たちの線型結合として書ける を満たすkが存在することを証明できているのかわかりません 命題2.1.2, 3) 線型独立の列Sに、Sの線型結合でないbを追加した列も線型独立である 命題2.4.15 m<n ⇒C^mのn個のベクトルは線型従属

  • 3次元で4つ以上のベクトルは線型従属である事の証明

    3次元で4つ以上のベクトルは線型従属である事の証明を以下のように考えたのですが、あっているでしょうか? ベクトルu,v,w∈R(3)が線型独立であるとすると、もう一つのベクトルxは      x=au+bv+cw のように3つのベクトルの線型結合によって表すことができる。 よって、4つ以上のベクトルは線型従属である。 自分的にはあまりしっくりこない証明なのですが、もし間違っていたり、助言があれば教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

  • 不等式の証明

    y=1/x のグラフを利用して、次の不等式 1/k+1 < ∫[k→k+1] 1/x dx < 1/k を証明しなさい。ただしkは自然数とする。 と言う問題です。 反比例のグラフを使ってどのように証明をすれば良いのか検討がつきません。どのように考えて、どのように証明をすれば良いのでしょうか?

  • 基底について

    大学の問題で、どうしてもわかりません。 「Vをベクトル空間とする。n個の線型独立なベクトルがVの基底をなすための必要十分条件は、これらのベクトルに任意のベクトルを付け加えたものが線型従属になること」 を証明するための筋道がわかりません。 これは基底の定義では?と思うのですが、わかりません。 検討がつきません。 ヒントがあればお教えいただけると助かります。

  • 不等式の証明

    x>0,y>0,z>0,√x+√y+√z=1のとき、次の式を証明せよ。 (x^2+yz)/√{2x^2(y+z)}+(y^2+zx)/√{2y^2(z+x)}+(z^2+xy)/√{2z^2(x+y)}>=1 考えたのは、次のようなことです。 (1) a=√x,b=√y,c=√zとおいて、a+b+c=1、与不等式も、a,b,cの式に置き換えてみた。   次数が大きくなるだけで、見やすくはなっていないように思った。 (2) 相加相乗平均から分母√{2x^2(y+z)}=<(2x^2+y+z)/2=x^2+(y+z)/2 よって、(x^2+yz)/√{2x^2(y+z)}>=(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}   他の2つの項も同様にして、   (x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}+(y^2+zx)/{y^2+(z+x)/2}+(z^2+xy)/{z^2+(x+y)/2}>=1 を示せばよいと思いました。    どうやって、右辺の1に持って行くかで、2つ考えました。     ア.(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}>=1/3を示して、残り2項との和から右辺1に持って行く。     イ.(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}>=√x/{□+□+□} なる式を考えて、残り2項との和から示す。     ウ.(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}=1+{(yz-(y+z)/2}/{x^2+(y+z)/2}として考える。 (3) コーシー・シュワルツが使えないかも考えたが、どんな式に持って行けばよいのか、わからず。  よろしくアドバイスをお願いします。