基底の存在性の証明について

質問

ε=<u_1, u_2, ... , u_k>が

(εがWの基底であるための１つの条件)
・Wの任意の元はεの元たちの線型結合として書ける

を満たすkが存在することを証明できているのかわかりません

命題2.1.2, 3)
線型独立の列Sに、Sの線型結合でないbを追加した列も線型独立である

命題2.4.15
m<n
⇒C^mのn個のベクトルは線型従属

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

ですから、それを今示したのでしょう？

つまり、u(1), u(2), .... u(k)の一次結合で書けないもの x がまだ残っているのであれば、その xをu(k+1)とすれば、{u(1), u(2), .... u(k), u(k+1)}はまた一次独立になるけど、ところが今は{u(1), u(2), .... u(k)} に新たに元 y を加えて{u(1), u(2), .... u(k), y}を一次独立にすることは、「もうこれ以上は出来ない」 と言っているのだから、対偶をとって、Wの任意の元xは、u(1), u(2), .... u(k)の一次結合で書ける、って事です。

お礼

ありがとうございました。