線形部分空間の次元と基底

質問

K=R or C
V=M(n,n;K)：n次正方行列
W={X∈M(n,n,K) | Tr(X)=0}

となる線形空間Vとその部分集合Wがあります。

1)Wが線形部分空間になることを示す．
2)Wの基底と次元を求める．
上記の1),2)を示したいのですが、1)は示せたのですが
2)の基底と次元の求め方がわかりません。
列ベクトルの基底等は連立などを用いて解くことができるのですが、
このような空間の基底を求めるのはどのように解放を進めればよいのでしょうか？

回答No.5

endlessriver · ベストアンサー

対角成分以外の基底は明らかなので、以下では対角成分のみ考えます。
対角成分を除いた次元は(n^2)-nです。
n=2のとき、対角成分の基底はM{(1,0),(0,-1)}です。
これはa11+a22=0からa22=-a11,すなわち、対角成分はa11,-a11
となることからわかります。

n=3のときはa11+a22+a33=0,a33=-a11-a22これを並び替えて
a11+a22+a33=(a11-a11)+(a22-a22)、これから推定して基底は
M{(1,0,0},(0,-1,0),(0,0,0)},M{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)}
の２つになります。これらの基底のTrは自動的に０となり、
独立であることも明らかです。

一般の場合に考えればよいと思います。これは線型代数の本に載っています。

回答No.4

atushi256

一応乗りかかった船ということで。
間違えた回答だけというのもあれなので。

「n次正方行列」を「n^2次元ベクトル」と考えます。
単純にはn^2次元ベクトルに対して、Tr(V)=0という一個の方程式が与えられたので、次元が1つ下がってn^2-1次元となると考えられます。

n^2次元ベクトルの標準基底をeij (i=1～n、j=1～n)とすれば、
任意のn^2次元ベクトルはa=ΣAij eij∈Vで表される。
eijを行ベクトルとする行列Eを考えれば、a=EA=A
∴Rank(E)=n^2

Tr(b)=0であるような任意のベクトルb=FB∈Ｗとあらわされるとする。
今Tr(b)=0よりΣBii=0 (i=1～n)ですから、Bnn=ΣBii (i=1～n-1)
つまり、
Fのij行=eij (i=n&j=nを除く)
Fのnn行=Σeii (i=1～n-1)
∴Rank(F)=n^2-1

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もっとスマートに示せないものなんでしょうか・・・・。

回答No.3

koko_u_

単純に、n×n 正方行列全体の空間 V の部分空間 W の基底を求めるだけでしょ。

まず、V の基底はわかりましたか？ W は V の中の「平面」ですよね。

もっと言えば、 Tr : V -> K の核が W ですね。

# V の要素が行列であることは忘れましょう。

回答No.2

atushi256

ぁぁ、申し訳ありません。
回答ボタン押してから、質問者さんの質問の意味を取り違えていたことに気がつきました。

どうも一度投稿した内容は消せないようで、申し訳ありません。

回答No.1

atushi256

いろいろ考えたのですが、いったいどのような経緯でこのような問題に直面しているのでしょうか？
数学の問題集なのでしょうか？
Ｗという「トレース0のn次正方行列の集合」に対する一般論をしたいのでしょうか？

問１はいいとして、問２について一般論を展開するのは（少なくとも私には）無理のように思えます。
例えば、以下のような行列を考えます。

A=
(+1 +0)
(+0 -1)

B=
(+1 +1)
(-1 -1)

C=
(0 0)
(0 0)

A,B,Cのどれもトレースは0ですが、行列の次元(＝Rank)はそれぞれ2,1,0です。基底ベクトルについても、性質などの多少の議論は出来ても「基底を求める」というのは、可能には思えないのですが。

それとも、Ｗの元が具体的に与えられた時に「どうやって基底や次元を求めればいいのか？」という質問なのでしょうか？
独立な列ベクトル(または行ベクトル)が何本取れるかを考えれば、次元が求まりますから、列(または行)基本変形をしていくのがひとつの手ではないでしょうか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0

基底に関しては、固有値＆固有ベクトルの求め方を参考にするといいのではないでしょうか？
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/numeanal2/node12.html

うーん、そういう質問というわけでもないのでしょうか・・・。

補足

すみません、一般的な解を求めていたのですが、1組の基底とその次元ということでした。