一次独立だけど、基底にならないベクトルの組ってありますか？

質問

いつもお世話になっています。

線形代数の復習をしていて、一つ疑問が生じました。

いくつかの本を当たってみたのですが、どの本にも「基底＝互いに一次独立＋任意のベクトルがそれらの線形結合で表示可能」と書かれていましたが、今まで「一次独立だけど、基底じゃなかった」というような問題に当たったことがありません。しかしながら、わざわざ一次独立＋αという条件が付け加えられているということは、一次独立という性質だけでは、基底となる条件を満たしていないということなのでしょうか？

ご教授、よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

n次元空間でn個のベクトルx1,・・・,xnが一次独立とする。
任意のベクトルyをとると、x1,・・・,xn,yは一次従属。
a1x1+・・・+anxn+by=0
とすると、a1,・・・,an,bのうち、どれかは0でない。
b=0とすると、a1x1+・・・+anxn=0となるので、a1=・・・=an=0
となってしまう。
よってb≠0であり、
y=(-a1/b)x1+・・・+(-an/b)xn
と表せる。
表示の一意性は、一次独立なことから分かる。

基底＝一次独立で、それらの個数が次元に等しい
で良いのではないでしょうか。
任意のベクトルがそれらの線形結合で表示可能＝それらの個数が次元に等しい
ということで。
単に一次独立だけでは、その個数が次元より小さい場合は基底には
なりません。

お礼

>任意のベクトルがそれらの線形結合で表示可能＝それらの個数が次元に等しいということで。

ベクトルの個数が次元と合わない練習問題に当たったこともなく、そのことの説明に触れた参考書も見かけませんでした。普通はつまづくようなところではない、ということでしょうか・・・。

証明を混ぜていただいたおかげで、納得できました。
詳しい説明ありがとうございました。

回答No.3

rinkun

既に回答が出てますが。

一般に、一次独立なベクトルの集合に対して、その一次結合の全体は一つの部分ベクトル空間を作り、一次独立なベクトルの集合はその部分ベクトル空間の基底になります。
一次独立なベクトルの集合が元々のベクトル空間の基底であるためには、一次結合で作られる部分ベクトル空間が全体であることが必要です。
なお、一次独立なベクトルの集合については、ベクトルを追加してやることで基底にできます。

お礼

>一般に、一次独立なベクトルの集合に対して、その一次結合の全体は一つの部分ベクトル空間を作り、一次独立なベクトルの集合はその部分ベクトル空間の基底になります。

部分空間・・・お恥ずかしながら、学校で線形代数をやったときに真剣に学ばなかったので、さっぱりイメージがつかめません・・・≪部分空間≫だったり、≪固有なんとか≫だったり、聞いただけで体が拒否反応を示しているような気がします・・・＾＾；

復習して、しっかりイメージをつかめるようにがんばります。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

a-saitoh

3次元の世界で考えると次の二つのベクトルは一次独立です．
(1,0,0)
(0,1,0)

が，z成分がないのでこの二つだけでは基底になれません．

というので回答になってますか？
基本的にはn次元ベクトル空間の基底ベクトルはn個必要だったはず．

お礼

> 基本的にはn次元ベクトル空間の基底ベクトルはn個必要だったはず．

それは書かれていなかったです。言わずとも分かるだろうと言うことなのか、はたまた当たった参考書が悪かったのか・・・

とても助かりました。
ご回答ありがとうございました。