線型空間 基底の証明

質問

U, V, U @ V　線型空間
f : U × V → U @ V　双線型写像
(U @ V, f)　U と V のテンソル積
f(u, v) = u @ v
dim U = m, 基底 {u_1, u_2, ..., u_m}
dim V = n, 基底 {v_1, v_2, ..., v_n}
S = {u_i @ v_j | 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n}　基底を証明したい
<S> = U @ V は f(u, v) を計算して証明できたのですが S が線型独立の証明を教えてください
r_11(u_1 @ v_1) + ... + r_mn(u_m @ v_n) = 0 とおいたまま立ち往生です

回答No.1

nobuyuki0505 · ベストアンサー

テンソル積の定義が重要となります。テンソル積の定義には二つあります。
１つは、形式的な記号u@vを用いる場合と、
もう一つは、普遍性を用いる場合と、です。
詳しくは、wikipediaなどを参照ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
今回は、どちらで定義しているのでしょうか？
それがわからなければ、答えようがないです。

補足

定義が二つあるのなら、どちらの定義を使うかは任せるので、質問したことの証明をお願いします。

回答No.3

nobuyuki0505

補足、読みました。
確かにそうですね(汗)線形写像と双線形写像と、ごっちゃになっていたようです。

調べましたところ、

http://daisy.math.sci.ehime-u.ac.jp/users/tsuchiya/math/fem/exterior/section1.pdf

ここの定理1.1を理解すれば、証明ができそうです。

かいつまんで説明すると、

任意のmn次元のベクトル空間Wを持ってきます。
また、これの基底をg_ij (1≦i≦m, 1≦j≦n)とおきます。

このとき、k:U×V→Wを、
k(Σa_i u_i, Σb_j v_j)=Σa_i b_j g_ij
と定めれば、これは明らかに双線形写像。

ゆえに、k=s⚪︎fを満たすs:U@V→Wが一意に存在。

Σr_ij u_i@v_j=0の両辺にsを作用させれば、s⚪︎f=kより、
Σr_ij k(u_i, v_j)=0となり、ゆえに、
Σr_ij g_ij=0を得る。

g_ijは基底だったので、r_ij=0となる。

という流れのようです。

お礼

そうですね
κ を k で代用していることを除けば、違和感なくあっさり理解できました

回答No.2

nobuyuki0505

ではお言葉に甘えて、僕が好きな、”普遍性”を用いた定義で、証明を与えます。

はじめに言っておきます。かなり抽象的で難しいです。

(証明)
Sの定義からu_i@v_jがSを生成することは明らか。
ゆえに、u_i@v_jが線形独立であることを示す。
r_11(u_1 @ v_1) + ... + r_mn(u_m @ v_n) = 0 ・・・(1)とおく。

いま、双線形写像g:U×V→Uをg(u,v)=uで定義する。

このとき、U@Vの普遍性を用いれば、
線形写像s:U@V→U
であって、s。f=g
となるものがただ一つ存在する。(ここでs。fはsとfの合成を表す。）

******************
証明はまだ続くが、ここで補足。
このsは結論から述べれば、
s(u_i@v_j)=u_i
を満たす線形写像であるが、今u_i@v_jが基底か否か分かっていないため、
このsがwell-definedであることを示すことは難しい。
ゆえに、sを普遍性から定義しなければならない。(補足終わり)
*****************
(証明続き)
さて、(1)の両辺に写像sを作用させよう。
s(r_11(u_1 @ v_1) + ... + r_mn(u_m @ v_n) )= 0　　・・・(2)

ここで、sは線形写像であるため、r_11などの係数はsの前に出せる。
また、s(u_i@v_j)は、u_i@v_j=f(u_i,v_j)であったため、
s(u_i@v_j)=s。f(u_i,v_j)
と表せるが、s。f=gなる性質を持っていたため、
s。f(u_i,v_j)=g(u_i,v_j)
と表せる。

ゆえに、(2)を式変形すれば、
r_11 g(u_i,v_j)+・・・+r_mn g(u_m,v_n)=0
と表せる。これをシグマを用いて、
Σr_ij g(u_i, v_j)=0
と表そう。

gの定義により、g(u_i, v_j)=u_iがjの値にかかわらず成立する。
よって、これを代入すれば、
Σr_ij u_i =0
が成立する。u_iは線形独立であるので、
任意のiに対して、u_iの係数は0となる。
つまり、
Σr_ij=0　　・・・(3)
(ただし、iは任意であり、Σはjについての和である。)

以下、iは固定し、Σはすべて、jについてのみの和とする。
いま、(3)の情報を(1)に代入すれば、
固定されたiに対して、
Σr_ij u_i@v_j =0　・・・(4)
を得る。
この式はつまり、
r_i1 u_i@v_1 + r_i2 u_i@v_2 + ・・・+ r_in u_i@v_n =0
を表す。

今度はg':U×V→V、g'(u,v)=vに対して、上と同様のことを行えばよい。
このとき、U@Vの普遍性より、
s':U@V→Vでs'。f=g'
を満たすものがただ一つ存在する。

(4)の両辺にs'を作用すれば、
s'(Σr_ij u_i@v_j)=0
上と同様に、s'(u_i@v_j)=g'(u_i, v_j)=v_jが成立するので、
式変形すると、
Σr_ij v_j=0
を得る。

ここで、v_jは線形独立なので、任意のjに対して、v_jの係数は0となる。
v_jの係数はr_ijなので、
r_ij=0
を得る。i, jは任意であったので、これにてu_i@v_jが線形独立であることが証明できた。
(証明終).

長く、また難しい証明だと思います。
なるべく分かりやすく書いたつもりですが、それでも難しいと思います。

テンソル積の普遍性の定義は必ず必要となるので、そちらは必ず何かでしらべてください。

補足

U, V, U @ V を体 K 上の線型空間とします
任意の u ∈ U, v ∈ V, r ∈ K に対して
g(u, rv) = rg(u, v)
は成り立ちますか？
左辺は u に等しく、右辺は ru に等しいです
g は双線型写像なのでしょうか
同様に、g' も双線型写像ではないと思います