大学一年生の線形代数（行列の写像）の問題

質問

線形代数を大学で勉強していますが答えが導けず
問題の解答もない状態なので質問させて頂ます。

問、行列Ａをm×n行列としf(A)をAによって定まるR^nからR^mへの写像
　　　f(A)：x→Axとする

（１）m<n　r(A)=m　ならば、f(A)は全射であるが、単射でないことを示せ

（２）m>n　r(A)=n　ならば、f(A)は単射であるが、全射でないことを示せ

一応問題をそのまま書いたつもりですが何か不備があるようでしたら
補足で追加致します。長くなりましたがよろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

いくつか準備をしておく:
・行列に対し列ベクトルを右から掛けることは, 行列をなす列ベクトルの線形結合を作ることである
・行列のランクは独立な列ベクトルの本数を表す
・線形空間の次元は基底をなすベクトルの本数で与えられる
・R^n の (実線形空間としての) 次元は n
・d次元線形空間 X に属する m本 (m < d) の独立なベクトルが与えられたときに, さらに (d-m)本のベクトルを追加して X の基底を作ることができる

ここまでいっておくと, 実は (2) はほぼ自明 (r(A)=n から A のすべての列ベクトルが独立であることに注意).

(1) も全射であることはだいたい明らか (A の列ベクトルのうち, 独立な n本を選んで「そいつらでできる線形結合」を考えればいい) で, それがわかれば単射でないこともすぐわかる (m次元線形空間において n>m本のベクトルをもってくると必ず線形従属).

もちろん「自明」とか「明らか」とかしちゃいけないんだけど, そこはちょっと考えてみてください.

お礼

即急な回答本当にありがとうございました。
教科書に載ってないことまでわざわざ書いて頂き大変参考になります。
得に行列のランクは独立な列ベクトルの本数を表すとういうことには本当に驚きました。
もう一度考えて解きなおしてみます。

回答No.1

Tacosan

・r(A) ってなんですか?
・「全射」や「単射」の定義や意味は分かりますか?

補足

＞＞r(A) ってなんですか?

r(A)　Aのrankです。説明不足でしたすいません。

＞＞・「全射」や「単射」の定義や意味は分かりますか?

浅くではありますがある程度の定義はわかります