線形代数学で質問です

質問

ｆ：R＾ｎ→R^n：線形のとき
ｆ：単射⇔ｆ：全射

仮に、ｆ：R＾ｎ→R^として、n≠mなら、この定理は成立しない。
それはなぜか？また、n≠mのとよき具体的にｆ：単射⇎ｆ：全射となる例をあげよ、

どなたかわかる方いらっしゃいましたらおしえてください。
おねがいします。

回答No.2

noname#221368

線形写像（変換）が正則って話が、出てこなかったでしょうか？。f：Ｒ^n→Ｒ^mで言えば、f(x)，f(x')∈Ｒ^mかつ、x，x'∈Ｒ^nとして、

　　f(x)≠f(x')　⇒　x≠x'

という定義です。じつはこれ、fが線形でなくても、fが単射である定義と同じですよね？。fが線形という条件が加われば、fが全射である事も証明できます。

　　線形なfが正則　⇔　fは単射　⇔　fは全射　　(1)

　上記の中辺から最右辺を言うためには、じつは「fが線形」という条件を考慮した、次の定理を使用します。表立っては出てこないかも知れませんが。

　　線形なfが正則（単射）　⇔　独立なベクトルを、fは独立に写す　　(2)

　(2)の右辺を言い換えれば、fは基底を基底に写す、です。自分の考えでは(2)が、線形代数の本質です。(2)さえわかってしまえば、ベクトル空間の基本構造に関しては、制覇したも同じです。

　(2)さえわかってしまえば、ベクトルの独立／従属の定義の動機も、次元の定義も、次元に関する定理、

　　dim(Ｒ^n)＝dim(Image(f))＋dim(ker(f))　　　(3)

も、みな同じ事の言い換えです。

　ちなみに(3)，(2)，(1)は同値です。また(2)さえ了解できれば、線形なf：Ｒ^n→Ｒ^mにおいて、ｎ≠ｍなら、fは単射でも全射でもない事は、自明になります。

　じつは、あんまり難しい事はやってないのですよ。定義から定義への言い換えしかやってませんが、言い換えてたら、いつの間にか答えが出てしまう、というのが現在の数学の利点でもあり、わりにくさでもあります。基本に（定義に）忠実に考えてみて下さい^^。

お礼

ありがとうございます。たすかりました。がんばります。

回答No.1

nag0720

ｆ：R^ｎ→R^ｍ
ｎ＜ｍ　なら
f(x1,x2,・・・,xn)=(x1,x2,・・・,xn,0,0,・・・,0)
ｎ＞ｍ　なら
f(x1,x2,・・・xm,・・・,xn)=(x1,x2,・・・,xm)
とすればいいでしょう。

お礼

ありがとうございます。助かりました!!