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線型代数
実線型空間R^4におけるv1,v2,v3,v4で張られる部分空間をWとします。また、 v1=t(1,1,-2,0),v2=t(1,-1,0,-2),v3=t(-2,1,1,3),v4=t(-1,2,-1,3) とします。ここで、Wの基底をv1,v2とすると、直交補空間W’の基底は、 u1=t(1,1,1,0),u2=1,-1,0,1) dimW’=2 となります。 以上の設定の下で、次の問題がよくわからないので質問させていただきます。 (1)2×4行列Aで、KerF=Wとなるものを1つ求める。 (2)4×2行列Bで、ImF=W’となるものを1つ求める。 という問題です。ここで、線型写像fについては、m×n行列Xに対して、 f;R^n→R^mとし、f(v)=Xv(vはR^nの元)という写像です。 求める行列を具体的に文字で置いて計算してみたのですが、うまくいきません。 (1)については、まず求める行列Aを A=|a1 a2 a3 a4| |b1 b2 b3 b4| と置いて、KerF=Wより、v1をとってAv1=0というように計算していこうと考えましたが、1行と2行の係数が同じになってしまいます。(2)についても同様の考え方で計算してみたのですが、この場合も同じような結果になってしまいます。どのように考えていったらいいのでしょうか?ご教授お願いします。 以上読みづらい文章となってしまいましたが、よろしくお願いします。
- gaigaiji
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- Jyaikosan
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(1) 2×4行列は4次元の行ベクトルを二つならべたものとみなすことができます。 行列Aを構成する二つのベクトルをa1とa2とします。 行列AにR^4の列ベクトルvを作用させてできたR^2の列ベクトルの第1成分は a1とvの内積、第2成分はa2とvの内積となることはよいでしょうか? KerF=WとなるということはvをWの元としたときに、Avの二つの成分が0になることです。 つまりa1とa2はWの任意の元vと直交しているわけです。 直交補空間W’の基底ベクトルu1とu2は上のa1とa2の条件を満たしていますから A= (1,1,1,0) (1,-1,0,1) と計算しなくても求めることができます。 Aの表現はこれだけではなくて、a1とa2として直交補空間W’の任意の二つの一次独立な ベクトルを選んだものも条件を満たします。 (2) ここでの写像は(1)とは逆にR^2からR^4への写像ですね? R^2の基底を e1=t(1,0) e2=t(0,1) とします。 直交補空間W’もR^2と同じく2次元なので Be1=u1 Be2=u2 を満たすように行列BをとればImF=W’となります。 4×2行列は4次元列ベクトルを二つ並べたものとみなすことができます。 簡単に確かめることができますが、Be1は行列Bの左側の列ベクトル、 Be2は右側の列ベクトルになっています。 それらがu1とu2に等しいということから、Bはu1とu2を縦に二つ並べたもの であることがわかります。つまり B= (1,1) (1,-1) (1,0) (0,1) です。条件をみたすBの表現も一意ではなくて、Aのときと同様です。
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お礼
ご返答ありがとうございます。 すごくわかりやすい説明で、勉強になりました。この回答を参考にさせていただき、再考したいと思います。どうもありがとうございました。