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線型代数・一次変換
一次変換に関する問題でわからないものがあるのでよろしければ教えてください。 1.線型空間Vの基底をB={v1,v2,b3}とするとき、 T(v1)=v2,T(v2)=v3,T(v3)=v4,T(v4)=v1 を満たすV上の一次変換Tに関する行列を求めよ。 2.T(a0+a1*x) = a0 + a1*(x + 1) によって一次変換T:P1→P1を定義し、 B={6+3x, 10+2x}に関するTの行列[T]Bと、B'={2,3+2x}に関するTに関するTの行列[T]B'を求めよ。 （P1:次数1以下の多項式全体を作る線型空間） どうしてもわかりません。 もしよろしければ詳しく教えて頂けるとありがたいです。
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- Tacosan
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基底 B = { v1, v2, ..., vn } に関する線形変換 T の表現行列を求める方法はいくつかあるんだけど, 全ての基底ベクトルを T で変換し得られたベクトルを再度 v1, v2, ..., vn で表す. T(vi) = a1i v1 + a2i v2 + ... + ani vn となったらこの係数ベクトルを i列目にする という方法があります. これに従えば 2 の方は簡単でしょう. まさに「そのまま」だし. で 1 の方を考えてみたんだけど, 少なくとも 2通りはできます. まず確認だけど, 「T の基底 B に関する行列」を求めるんだよね? v4 は「ある適切なベクトル」です. なので, 基底 v1, v2, v3 の線形結合で表すことができます. そこで, v4 = a v1 + b v2 + c v3 とおいて変換したときに v1 になるように a, b, c を決めれば, 上に書いたことから変換行列が決まります. ただし, 条件から A 自身と A^2 はスカラ行列 (単位行列のスカラ倍) ではないということを入れる必要があります. というのが 1つの方法. 「計算力はないけど知識はある」人には次の方法をどうぞ. まず明らかに v4 は v1, v2, v3 のいずれでもありません. そして, 変換行列を A, 単位行列を E とおくと変換に関する条件から A^4 = E です. つまり A^4-E = O ですが, ケーリー=ハミルトンの定理を使うと「A の固有方程式は λ^4-1 を割り切る」ことがわかります. これと A^2 がスカラ行列にならないことから, A が実行列なら固有多項式は (λ-1)(λ^2+1) と (λ+1)(λ^2+1) のどちらか. さらに, A の形が特殊であることを使うと, 固有多項式を展開すれば A が求まります.
- Tacosan
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1. v4 って何? 2. 表現行列の求め方くらい, 教科書でも見れば書いてあると思うよ. ちゃんと探しましょう.
お礼
1.私もそれがわからないから質問させていただいたのですが。問題文見てもどこ見ても何も書いていません。 2.相当探して相当考えてそれでもわからなかったので質問させていただきました。頭悪くてごめんなさい。他にも表現行列を求める問題はあったのですがこれだけできません。 訂正 1.の1行目、基底Bの3つめはb3ではなくv3でした。タイプミスですごめんなさい。
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実係数2次以下の多項式 p(x)=p2x^2+p1x+p0とする。このようにして2次の多項式のつくるベクトル空間をPとする。 (1)以下の変換は線形変換であるか理由をつけて答えよ。ただし、多項式 a(x),b(x)に対してa(x)=q(x)b(x)+r(x)と多項式q(x),r(x)(ただし、r(x)の次数はb(x)より小さい)を用いて表現する時r(x)をa(x)をb(x)で割ったときの剰余という ⅰ)p(x) → p(x-1) ⅱ)p(x) → (x-1)p(x)をx^3-1で割ったときの剰余 ⅲ)p(x) → p(x)^2をx^3-1で割ったときの剰余 2)線形変換T:P→Pについて、(1)の変換のうち線形変換であるものについて それぞれの像と核を求めよ。 3)Pに基底{1,x,x^2}を与える。このとき(1)の変換のうち線形変換であるものについてそれぞれこの基底に関する行列を求めよ。 長くてすいません。線形変換に定義(スカラー倍、ベクトル和)を用いるとは思うのですが、どのように用いるのかわかりませんでした。 よろしくお願いします。
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線形代数で困っています。 Ｖ：４次元線形空間 Ｔ：Ｖ→Ｖ：線形変換 s.t. 『dim（ImＴ）=3 、dim（ImＴ^2）=2、 dim（ImＴ^3）=1、dim（ImＴ^4）=1』 Ｔの指数は写像の合成の回数を表す。 【問題】 （１） KerT ⊂ ＩｍＦ を証明せよ。 （２） ＩｍT^2 = KerT＋ＩｍＴ^3 （ただし、＋：直和）を証明せよ。 （３） ＴのJordan標準形を求めよ。 -------------------------------------------- （１）は以下のように示しました。 次元定理を使って、 dim(ＫｅｒＴ)＝ｎ－dim（ＩｍＴ）＝４－３＝１。 従って、dim(ＫｅｒＴ) ⊂ dim（ＩｍＴ） ←ここの議論はあっているでしょうか？？ （２）はお手上げです。方針が見えません。 （３）はまず表現行列を求めるのは分かるのですが、 表現行列を求めるための基底がなんなのか分かりません。 ↑の次元の数（３，２，１，１）を行列にしても仕方がないですし。。 （１）が合っているかと、 （２）（３）に対してアドバイスをお願いしたいです。 どうかよろしくお願いします。
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お礼
丁寧な回答ありがとうございました！ とりあえず、なんとか理解することはできました。 1は解答がないので確認しようがないのですが、おそらくできたと思います。 ありがとうございました。