線形変換の問題について教えてください

質問

実係数2次以下の多項式 p(x)=p2x^2+p1x+p0とする。このようにして2次の多項式のつくるベクトル空間をPとする。

(1)以下の変換は線形変換であるか理由をつけて答えよ。ただし、多項式 a(x),b(x)に対してa(x)=q(x)b(x)+r(x)と多項式q(x),r(x)(ただし、r(x)の次数はb(x)より小さい)を用いて表現する時r(x)をa(x)をb(x)で割ったときの剰余という

ⅰ)p(x) →　p(x-1)
ⅱ)p(x) → (x-1)p(x)をx^3-1で割ったときの剰余
ⅲ)p(x) → p(x)^2をx^3-1で割ったときの剰余

2)線形変換T:P→Pについて、(1)の変換のうち線形変換であるものについて
それぞれの像と核を求めよ。

3)Pに基底{1,x,x^2}を与える。このとき(1)の変換のうち線形変換であるものについてそれぞれこの基底に関する行列を求めよ。

長くてすいません。線形変換に定義(スカラー倍、ベクトル和)を用いるとは思うのですが、どのように用いるのかわかりませんでした。
よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

えぇと, (1), (2) については「ベクトル表示」は関係しませんから, 「ベクトル表示」ということは (3) が気になっているということでいいでしょうか?
(3) では基底として {1, x, x^2} を考えますから, 多項式 p(x) = ax^2 + bx + c とベクトル (c, b, a)^t を同一視してください. そのうえで, ベクトル (= 多項式) が当該変換によってどのようなベクトル (= 多項式) に変換されるかを考えることになります.
厳密にいえば基底に順序が与えられていないのでどのように書いてもいいような気はしますが, あえて与えられた順番と違う順番を使う必要性はないと思います.

回答No.1

Tacosan

「どのように」と言われても.... 「素直に」用いる, くらい?
線形変換であるものに対しては定義から線形変換であることを示し, 線形変換でないものに対しては反例を示す, だけだもんな....

お礼

回答ありがとうございます。
まさにおっしゃるとおりなんですが、多項式の行列表示の方法に自信
が無いのです。
自分が考えでは
　　　 [p2x^2]
ベクトルx=[p1x ] と置いて。変換した多項式の結果を行列表示 Tx
　　　 [p0 ]
として。Tによる変換を定義から求めるという方法で良いのでしょうか?