- ベストアンサー
線形変換について
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
3次元ベクトルと次元が決められているので、次のように考えてはいかがでしょうか。 １）ベクトルを成分表示する。 ベクトルa＝（1,-1,1）、ベクトルb＝（2,-3,1）、ベクトルx＝(x1,x2,x3)とする。 ２）(a,x)bも成分表示してみる。 このとき、(a,x)bの計算は、先ず内積(a,x)の計算をしてから、その結果とベクトルbとを掛け合わせることに注意して下さい。（内積の計算結果はベクトルではなくスカラーになります。） ３）線形変換かを調べる。 ベクトルxの成分をすべてk倍にしたとき、 (a,kx)b＝k (a,x)b という関係になるかを調べます。 ４）対応する行列を求める。 2)の計算結果を見れば一目で分かりますが、もし分からない場合に備えて、力技で求める方法をお伝えしておきます。 対応する行列を Ｐ＝(p11 p12 p13) (p21 p22 p23) (p31 p32 p33) とおいて、px＝(a,x)bとなるように、行列Ｐの各要素を決めていきます。このとき、ベクトルｘの各要素x1,x2,x3は互いに独立であることを利用してください。
関連するQ&A
- 線形変換と表現行列
少し長いですが、線形変換と表現行列についてです。 ------------------------------------------------ 平面のベクトル全体を V^2 として、V^2 の元a を、座標系Γに関して、方程式 g: 2x-3y+1=0, h: x+2y-3=0 で、gに沿ってhに平行射影する V^2 の線形変換Ｔの、Γの基本ベクトル{e1, e2}に関する行列（表現行列？）を求めよ --------------------------------------------------- という問題にて、 g の方向ベクトル a1=(3, 2) h の方向ベクトル a2=(-2, 1) として、 λa1 + μa2 = e1 ・・・(*) λ'a1 + μ'a2 = e2 ・・・(**) を解いて得た、μ, μ'を使って [ μa2 μ'a2 ] が求める行列だから・・・ と解説に書いてあるのですが、何故(*), (**) の式を立てるのかがわかりません。 線形変換である点と、自然基底である点から、 座標系Γの点 X=(x1, x2)を条件にしたがって平行射影し、h上にのっかた点を Y=(y1, y2)として Y = AX となるような線形変換のAを求めればいいのかな？なんて思っていたのですが・・・。 (表現行列は、基底が自然基底で、同じ線形部分空間への写像であれば、そういう風に求められるということが書いてあった気がしたので・・・） 第一、なんで直線h の切片 情報が使われていないかがわかりません＾＾； 問題をかなり変に解釈してしまっているのだと思いますが、これはどういうことなのでしょうか。 アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換の定義
線形変換の定義 前回の質問で線形変換とアフィン変換について質問させて頂きました。 前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5973471.html 線形変換とアフィン変換については理解する事が出来ました。 ご回答下さった方本当にありがとうございます。 線形変換の定義を幾つか示して頂いたのですが、 線型変換の定義： [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 線型変換の定義： [1’] [1']?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a∈K について常に?f(x+y) = f(x) + f(y),? f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 線形変換の定義：[1''] ?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき?f(ax + by) = a f(x) + b f(y),? f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 定義[1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることはどのように示せば良いのでしょうか？ また、定義[1'']におけるa+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換(随伴変換)に関する質問です
「線形空間Ｖのひとつの基底E=<e[1],e[2],・・・e[n]>を選べば、 ＶからＫ^nへの同型写像ψが決まるから、この意味で、基底(E;ψ)と言うことにする。 Ｖをユニタリ空間、ＴをＶの線形変換とし、ある正規直交基底に関するＴの行列をＡとする。この基底に関して、 Ａの随伴行列Ａ^*によって表現されるＶの線形変換をＴの随伴変換と言い、Ｔ^*で表す。 Ｔ^*は、Ｖの任意の二元x,yに対して内積に関する等式 [T^*(x),y]=[x,T(y)]・・・※ が成立することで特徴づけられる。 実際、この基底を(E;ψ)とすれば [A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]より※が成立。」 という記述が教科書にあったのですが、 ※の成立を示すのに [A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]を示している理由を 私は [T^*(x),y]=[ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))] 今、ψ^(-1)は計量同型写像であるから [ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))]=[A^*(ψ(x)),ψ(y)] 同様に [x,T(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]なので 結局、※は[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]に帰着される・・。 と考えたのですが、これであっていますか？ ψが計量同型写像だからそのい逆写像も計量同型写像であるので [ψ^(-1)(a),ψ^(-1)(b)]=[a,b]である というのを使っているのかな？と思ったのですが。 どなたか詳しい方、添削よろしくお願い致します。 ※[,]は内積、ψ^(-1)はψの逆写像の意です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換の問題について教えてください
実係数2次以下の多項式 p(x)=p2x^2+p1x+p0とする。このようにして2次の多項式のつくるベクトル空間をPとする。 (1)以下の変換は線形変換であるか理由をつけて答えよ。ただし、多項式 a(x),b(x)に対してa(x)=q(x)b(x)+r(x)と多項式q(x),r(x)(ただし、r(x)の次数はb(x)より小さい)を用いて表現する時r(x)をa(x)をb(x)で割ったときの剰余という ⅰ)p(x) → p(x-1) ⅱ)p(x) → (x-1)p(x)をx^3-1で割ったときの剰余 ⅲ)p(x) → p(x)^2をx^3-1で割ったときの剰余 2)線形変換T:P→Pについて、(1)の変換のうち線形変換であるものについて それぞれの像と核を求めよ。 3)Pに基底{1,x,x^2}を与える。このとき(1)の変換のうち線形変換であるものについてそれぞれこの基底に関する行列を求めよ。 長くてすいません。線形変換に定義(スカラー倍、ベクトル和)を用いるとは思うのですが、どのように用いるのかわかりませんでした。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
３次元実ベクトル空間R^3において，平面P：x-y-z+1=0と直線L:2(x-1)=-y=-zを考える． (1)平面を張る二つの線形独立(一次独立)なベクトルa1,a2,直線を張るベクトルa3を求めよ． (2)任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換を表す行列Aを求めよ． (3)任意の点を平面Pと平行に直線L上へ射影する線形変換を表す行列Bを求めよ． というような問題です。 (1）は直線はわかるのですが、平面の方は法線ベクトルしか求められません。 (2)と(3)は考え方だけでも教えていただければと思います。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線型代数・一次変換
一次変換に関する問題でわからないものがあるのでよろしければ教えてください。 1.線型空間Vの基底をB={v1,v2,b3}とするとき、 T(v1)=v2,T(v2)=v3,T(v3)=v4,T(v4)=v1 を満たすV上の一次変換Tに関する行列を求めよ。 2.T(a0+a1*x) = a0 + a1*(x + 1) によって一次変換T:P1→P1を定義し、 B={6+3x, 10+2x}に関するTの行列[T]Bと、B'={2,3+2x}に関するTに関するTの行列[T]B'を求めよ。 （P1:次数1以下の多項式全体を作る線型空間） どうしてもわかりません。 もしよろしければ詳しく教えて頂けるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
丁寧なお答えありがとうございます。おかげで解くことができました。 わかりやすかったです＾＾