• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

線形変換の定義

線形変換の定義 前回の質問で線形変換とアフィン変換について質問させて頂きました。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5973471.html 線形変換とアフィン変換については理解する事が出来ました。 ご回答下さった方本当にありがとうございます。 線形変換の定義を幾つか示して頂いたのですが、 線型変換の定義: [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 線型変換の定義: [1’] [1']?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a∈K について常に?f(x+y) = f(x) + f(y),? f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 線形変換の定義:[1''] ?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき?f(ax + by) = a f(x) + b f(y),? f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 定義[1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることはどのように示せば良いのでしょうか? また、定義[1'']におけるa+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • RY0U
  • お礼率40% (434/1065)

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数6
  • 閲覧数463
  • ありがとう数16

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.6

[一次関数]が以下のような定義であれば、「a+b=1~は一次関数を表す」でよいと思います。 [1次関数(1)] Vは体 K 上のベクトル空間 f:V→V ∃g:V→V,gは線形変換 ∃c∈V x∈V→f(x)=g(x)+c ←→ [1次関数(2)] Vは体 K 上のベクトル空間 f:V→V x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき f(ax+by)=af(x)+bf(y) [1次関数(1)]→[1次関数(2)] x,y∈V, a,b∈K,a+b=1 → af(x)+bf(y)-f(ax+by)=a(g(x)+c)+b(g(y)+c)-g(ax+by)+c =ag(x)+ac+bg(y)+bc-ag(x)-bg(y)-c =(a+b-1)c=0 → f(ax+by)=af(x)+bf(y) [1次関数(2)]→[1次関数(1)] g:V→V,x∈V→g(x)=f(x)-f(0) とする x,y∈V, a∈K とする → g(ax)=f(ax)-f(0)=f(ax+(1-a)*0)-f(0)=af(x)+(1-a)f(0)-f(0)=a(f(x)-f(0))=ag(x) g(x+y)=2g((1/2)x+(1/2)y)=2(f((1/2)x+(1/2)y)-f(0)) =2((1/2)f(x)+(1/2)f(y)-f(0))=f(x)+f(y)-2f(0) =g(x)+g(y) →gは線形変換 f(x)=g(x)+f(0) ・アフィン変換は通常全単射写像として定義します。 Vは体 K 上のベクトル空間 f:V→V fがアフィン変換 ←def→ ∃g:V→V,gは正則線形変換,det(g)=|g|≠0 ∃c∈V x∈V→f(x)=g(x)+c となるもの。 Vは体 K 上のベクトル空間 f:V→V fがアフィン変換 ←→ fが全単射で、 x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき f(ax+by) = af(x) + bf(y) が成り立つ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 定義の取り方で、a+b=1を一次関数とみなせるのですね。 私には難しかったのでご回答頂いた内容を読み返します。 ちなみに、f(ax+by)という関数は具体的にはどのような関数になるのでしょうか? 線形空間であれば、y=axのイメージなのですが・・・うまくイメージ出来ません・・・ f(ax+by)において、a+b=1を一次関数と考えられませんかと質問しておきながらですが、 a+b=1の条件は相当に厳しく感じます。 以上、よろしくお願い致します。

関連するQ&A

  • 線形変換の定義について

    線形変換の定義について 線形変換の定義 [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 [2] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a∈K について常に f(x+y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 [3] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき f(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 がすべて同値であることを示したいのですが、どのようにすればよいでしょうか?

  • 形変換 アフィン変換 

    形変換 アフィン変換  前回同様の内容で質問させて頂きました。 不明な点がいくつかありますので改めて質問させて頂きます。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5957715.html アフィン変換 ⊃ 線型変換 であるとご回答頂いたのですが、これはアフィン変換は 線形変換を含むという認識で良いでしょうか? 線形変換はアフィン変換の部分集合だと理解したのですが間違いでしょうか? また、線形変換及びアフィン変換の定義に関して ・線型変換の定義: [1]  体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、  x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 ・アフィン変換の定義: [2]  体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、  x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y)  が成り立つもの。 とご教示頂きました。 定義[1],[2]について考えると、 [1]が成り立てば、[2]は成り立つと思います。 [1]はa+b=1によらず、f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立ちますから。 翻って、[1]ならば[2]が成り立つと言うことは線形変換がアフィン変換を含むと 言う事になりませんか?この点で混乱しています・・・ ご回答よろしくお願い致します。

  • 線形変換の定義 証明

    線形変換の定義 証明 以前ご回答頂き理解したつもりだったのですが・・・ 実際に自分で証明を試みましたが出来ませんでした。 理解出来ていなかったので再々度質問させて頂きます。 重複質問で申し訳ないですm(_ _)m 線形変換の定義 [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 [2] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a∈K について常に f(x+y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 [3] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき f(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 *****以下質問内容***** [1]と[3]が同値であることの証明は理解できたのですが、 [1]と[2]が同値であることを証明できません。 [1]と[2]が同値であることの証明 [1]の定義に従い、[2]を示す。 ・x,y∈V,a,b∈Kにおいてa=b=1∈Kとおくと  x,y∈V,1∈K→f(ax+by)=f(1*x+1*y)=1*f(x)+1*f(y)=f(x)+f(y)=f(x+y) ・x,y∈V,a,b∈Kにおいてy=0∈V,b=0∈Kとおくと  x,0∈V,a,0∈K→f(ax+by)=f(ax+0*0)=f(ax)+0*f(0)=f(ax)=af(x) [2]の定義に従い、[1]を示す。 ・x,y∈V,a∈Kにおいて  f(x+y)がf(ax+by)=af(x)+bf(y)となる事が示せません・・・  そもそも、a∈Kでbはどこからでてくるのでしょうか? [1]→[2],[2]→[1]であるなら、[1]と[2]は同値であると示せると 思うのですが、[2]→[1]はどのようにすれば示せるのでしょうか? お手数ですが、ご回答よろしくお願い致します。

その他の回答 (5)

  • 回答No.5

Vを体 K 上のベクトル空間 V fをV上の線形変換とする Vの次元をnとして Vのn個の基底ベクトルを{e_i}_{i=1~n}⊂Vとすると ∀x∈V→∃{x_i}_{i=1~n}⊂K ( x=Σ_{i=1~n}x_ie_i ) f(x)=f(Σ_{i=1~n}x_ie_i)=Σ_{i=1~n}x_if(e_i) ∃A={{a_{j,i}}_{j=1~n}}_{i=1~n} ( f(e_i)=Σ_{j=1~n}a_{j,i}e_j ) f(x)=Σ_{j=1~n}(Σ_{i=1~n}a_{j,i}x_i)e_j=Ax 線形変換は、一次関数で表せますが、 一次関数は、線形変換ではありません。 例) c≠0,b∈R f:R→R,x∈R→f(x)=bx+c とすると、 fは一次関数だが x,y∈R →f(x)+f(y)-f(x+y)=bx+c+by+c-(b(x+y)+c)=c≠0 →f(x)+f(y)≠f(x+y) a≠1 →af(x)-f(ax)=a(bx+c)-(bax+c)=(a-1)c≠0 →f(ax)≠af(x) →fは線形変換でない

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 一次関数は、線形変換でない点は理解出来ます。 線形変換の定義: 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 アフィン変換の定義: 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 以上の事から、a+b=1は一次関数を表して、線形変換の場合はf(ax) = a f(x) から、スカラー倍の相似中心である 原点の条件が付加されるため比例であるイメージと捉えています。 この点から、a+b=1は一次関数を表すのではないかと考えた次第です。 お手数ですが、ご回答よろしくお願い致します。

  • 回答No.4

[1]→[1'] x,y∈V,1∈K→f(x+y)=f(1*x+1*y)=1*f(x)+1*f(y)=f(x)+f(y) x,0∈V,a,0∈K→f(ax)=f(ax+0*0)=af(x)+0*f(0)=af(x) [1']→[1] x,y∈V,a,b∈K→ax,by∈V→f(ax+by)=f(ax)+f(by)=af(x)+bf(y) [1]→[1"] x,y∈V, a,b∈K→f(ax+by)=af(x)+bf(y) x,0∈V,a,0∈K→f(ax)=f(ax+0*0)=af(x)+0*f(0)=af(x) [1"]→[1] x,y∈V, a,b∈K→f(ax+by)=f((a+b)((a/(a+b))x+(b/(a+b))y)) =(a+b)f((a/(a+b))x+(b/(a+b))y) =(a+b)((a/(a+b))f(x)+(b/(a+b))f(y)) =af(x)+bf(y) ベクトルxの終点をxベクトルyの終点をyベクトルax+byの終点をax+byとすると a+b=1のときax+byは線分xyをb:aに内分するxy上の内分点となる

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ご回答ありがとう御座います。 [1]→[1'],[1']→[1],[1]→[1"],[1"]→[1]について理解出来ました。 a+b=1についてのご回答も理解出来ました。 直感的に一次関数を表しているのかと思っていたのですがこの認識は間違いでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

具体的なベクトルを 1つ与えたってダメ. ちゃんと一般的な形で書かなきゃ. あと, 「a+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか」については私は知りません. しいていえば「分点が (同じ比率の) 分点に移る」という解釈はできるけど.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

#1 をちょっと訂正します. 「3通りないし 4通り」と書きましたが, 実際には 5通り必要な可能性もあります. 頭をどのくらい使ったかに依存しますが....

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

例えば「[1] を満たしていれば [1'] を満たす」というようなことを, 全ての組み合わせ (6通り) についてチェックすればいい. もちろん本当に 6通り全てを調べる必要はなく, 3通りないし 4通り確認すれば残りは自動的に成り立つことが分かります.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 具体的に、(0,1),(1,0)ベクトルを与えて確かめれば良いという事でしょうか? また、a+b=1についてもご回答頂けるとありがたいです。 以上、よろしくお願い致します。

関連するQ&A

  • 線形変換の定義

    線形変換の定義 以前から何度が質問させて頂いている者です。 新規で質問させて頂きます。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5985949.html 前回の質問内容で、線形変換の定義において 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 について定義の取り方で、a+b=1を一次関数と見なせるとご回答頂きました。 回答頂いた内容は私には難しかったので内容を読み返します。 ここで、f(ax+by)という関数は具体的にはどのような関数になるのでしょうか? 具体的に式を記載して頂けると有り難いです。 線形空間であれば、y=axのイメージなのですが・・・うまくイメージ出来ません・・・ 以上、よろしくお願い致します。

  • 線形写像と線形変換

    線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換?と思ったのですが間違いでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 線形写像と線形変換

    線形写像と線形変換 以前、同様の題目で質問させて頂きました。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5940429.html 線形写像と線形変換についての違いは理解出来たのですが、 分からない点があるので新規で質問させて頂きます。 線形写像の定義を表す場合、 R^n,R^mをR上のベクトル空間とする。 ベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^mへの線形写像という。 k∈Rである。 上の記述では何か間違っている点はありますでしょうか? n次元ベクトル空間はR^nとよく表記されているのを目にします。 Rは実数を表すイニシャルだと認識しています。しかし、kは複素数や虚数でも成り立つと 思うのでk∈Rと言う表現は正しくないのでは?と考えた次第です。 定数倍を表す場合は別の基礎体を考えなければならないと言う事でしょうか? 基礎体はRではなくKとして表記した方が正しいでしょうか? また、次元を表すnやmに関してはn,mは実数を前提として基礎体をRとしているので わざわざn,m∈Rと表記する必要は無いと考えているのですが、n,m∈Rも表記した方が 良いのでしょうか? 初歩的な質問で大変恐縮ですがご回答よろしくお願い致します。 初歩的な質問ですいません・・・よろしくお願い致します。

  • 線形変換について

    線形変換について {a,b,c}を3次元ベクトル空間Vの基底とし、fを次のようなVの線形変換とする。 f(a)=-a-c f(b)=a f(c)=a+b+2c (1){a+b+c,a+b,a}はVの基底であることを示せ (2)Vの基底{a+b+c,a+b,a}に関するfの表現行列Aを求めよ。 (1)がさっぱりわかりません。 (2)の方は 一様答えが出せて A= -1 1 1    0 0 1    -1 0 2 という行列の形になりました。 回答お願いします

  • 線形変換の問題について教えてください

    実係数2次以下の多項式 p(x)=p2x^2+p1x+p0とする。このようにして2次の多項式のつくるベクトル空間をPとする。 (1)以下の変換は線形変換であるか理由をつけて答えよ。ただし、多項式 a(x),b(x)に対してa(x)=q(x)b(x)+r(x)と多項式q(x),r(x)(ただし、r(x)の次数はb(x)より小さい)を用いて表現する時r(x)をa(x)をb(x)で割ったときの剰余という ⅰ)p(x) → p(x-1) ⅱ)p(x) → (x-1)p(x)をx^3-1で割ったときの剰余 ⅲ)p(x) → p(x)^2をx^3-1で割ったときの剰余 2)線形変換T:P→Pについて、(1)の変換のうち線形変換であるものについて それぞれの像と核を求めよ。 3)Pに基底{1,x,x^2}を与える。このとき(1)の変換のうち線形変換であるものについてそれぞれこの基底に関する行列を求めよ。 長くてすいません。線形変換に定義(スカラー倍、ベクトル和)を用いるとは思うのですが、どのように用いるのかわかりませんでした。 よろしくお願いします。

  • 線形変換

    行列AをA= (2,-1) (1,4) で定義する。 行列Aによって表されるxy平面上の線形変換をfとする。直線y=ax上の任意の点のf による像が同じ直線y=ax上にあるようなaの値を求めよ。 という問題で、y=axはベクトルを使うと (1) (a) と表せるから、これの左側にAをかけて、 (2-a) (1+4a) となり、(2-a):(1+4a)=1:a という比例式から (a+1)^2=0 ∴a=-1 が出てきました。このような解き方でいいでしょうか?

  • 線形代数

    Vを3次以下の実係数多項式全体のなすベクトル空間とする: V={a0+a1x+a2x^2+a3x^3|a0,a1,a2,a3∈R} V上の線形変換T:V→Vを T(f(x))=f(x+1)-xf'(x) (f(x)∈V) によって定義する。但し、f'(x)はf(x)の微分を表わす。 (1)Vの基底x^3,x^2,x,1に関するTの行列表示を求めよ。 (2)ImTとKerTの基底を一組づつ求めよ。 という問題なのですがどなたかわかる方がいらっしゃれば解答よろしくお願いいたします。

  • [-∞,+∞]は線形空間である証明で

    [-∞,+∞]が実数体R上の線形空間となる事を下記のように示しました。 スカラー倍f:RX[-∞,+∞]→[-∞,+∞]をf(a,x):=ax x∈Rの時、±∞ a>0且つx=±∞(復号同順)の時、\mp ∞ a<0且つx=±∞(復号同順)の時(但し\mpはマイナスプラスの意味)、 0 a=0の時。 と定義すれば線形空間の定義 f(a,x+y)=f(a,x)+f(a,y), f(a+b,x)=f(a,x)+f(b,x), f(ab,x)=af(b,x), f(1x)=f(x) for∀a,b∈R,x,y∈[-∞,+∞]. を満たしますよね? このfの定義で大丈夫でしょうか?

  • ユークリッド空間 ユークリッド変換

    ユークリッド空間とはユークリッド変換の対象となる空間であると認識 しています。 ユークリッド変換は、回転、鏡映、平行移動です。 ユークリッド変換は、直交変換+平行移動と説明されたりしますが、 直交変換とはなんでしょうか?直交行列と関係あるのでしょうか? 直交行列は、ある行列Aの転置行列がAの逆行列と等しい行列で ある事は理解できています。 回転行列は直交行列の一つだと認識しています。 線形変換(回転、鏡映、拡大・縮小、剪断)のなかで直交変換に あたるものは回転以外になにがありますでしょうか?鏡映も回転と ほとんど同意なので含まれると考えています。 ユークリッド変換の数学的な定義は調べたのですがわかりませんでした。 ユークリッド変換の数学的な定義を以下のように教えて頂けませんか? ちなみに、 線形変換の定義は、 K上の線形空間V上の変換fで、x,y∈V,a,b∈Kについて常に、 f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立つもの。 アフィン変換の定義は、 K上のアフィン空間W(線形空間を含む)上の変換fで、x,y∈W,a,b∈Kについてa+b=1のとき、 f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立たちかつ全単射であるもの。 よく私たちが生活している空間を3次元ユークリッド空間などと呼んだりしますが、 これはなぜでしょうか?ユークリッド空間では、回転と鏡映(対称移動)、平行移動が 定義された空間で私たちが生活している空間とは無関係な気がします・・・ 私たちが生活している空間には、&#65374;空間といったような名称があるのですか? 長々と失礼しました。 質問を整理させて頂きます。以下に質問順に番号をふりました。 (1)直交変換とはなんでしょうか? (2)線形変換の中で直交変換であるものはなんでしょうか? (3)ユークリッド変換の定義を教えて貰えないでしょうか? (4)ユークリッド空間と私たちが日常生活している空間は関係あるのでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 線形変換について

    [1] 変数xに関するn次以下の実多項式のなすベクトル空間をVnとする。実数a,bに対して、写像F_a,b;Vn→Vnを (F_a,b(f))(x)=f(ax+b) (f∈Vn) で定める。 (1)ベクトル空間Vnの次元を求めよ。 (2)写像F_a,bはVnの線形変換であることを示せ。 という広島大院試の問題(一部)なんですが、抽象的な問題が苦手でさっぱりです... (1)はお手あげで、(2)は線形写像とか線形変換を示すのだから、F(f1+f2)=F(f1)+F(f2)などを示せば良いと思うんですが、具体的な数や基底がどこにも書いてないのにどうすれば示せるのでしょうか?参考書の例題などは全て数が与えられているので計算できるのですがこういう抽象的なものになると本当に止まってしまいます。 アドバイスよろしくお願いします!