線形変換

質問

平面P；x-y+z+1=0
直線L；2(x-1)=-y=-z
平面を張る二つの線形独立なベクトルをa,b
直線を張るベクトルをcとし

任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換をあらわす行列Aを求める問題で

解説では
Aa=a,Ab=b,Ac=0
A(a b c)=(a b 0)
…と求めています。
Aa=a,Ab=b,Ac=0となるのがよくわかりません。
教えてください。

回答No.4

think2nd · ベストアンサー

ちょっと気になりますのでまたお邪魔します。
>解説では
>Aa=a,Ab=b,Ac=0
> A(a b c)=(a b 0)
>…と求めています。
Aa=a,Ab=b,Ac=0となる理由は先ほどのNo.3で説明したとおりですが　(-.-)
　この問題を出題した、意図がわかりません。
　一次独立なベクトルを線形変換に応用する、その例としての出題なのでしょうかね。
　　だとしたらa,bが一次独立であることをいう必要があります。
　　また行列を求めることが、主な理由ではないような気がします。
　　どんな状況の下での出題だったのでしょうか?

　既にご存じでしょうが、簡単に以下のようにも解けると思いましたので、質問いたしました。
　つまり　線形独立なベクトルをa,bゃcなど使わすに、　(指示通りに解かないからペケですが、簡単すぎるから出題の意図が疑問です。)
　任意の点をQ(a,b,c)とおき、直線Lに平行に平面に射影してできる点の座標をR(x,y,z)
　とおくと、直線の方向ベクトルが(1,-2,-2)だからRの座標は
　　　x=a+t
　　　y=b-2t
　　　z=c-2t
　であり、これが平面P上にあるから上の3つの式をPの平面に代入してtを求めると
　　　t=b-a-c-1
　よって上の3つの等式に代入して
　　　　x=b-c-1
　　　　y=2a-b+2c+2
　　　　z=2a-2b+3c+2
と書ける。
　よって　(a,b,c)→(b-c-1,2a-b+2c+2,2a-2b+3c+2)に移る
　苦しいけど行列で書けば(a,b,c)の移る先は
　　　(0　1　-1)(a)　　　( -1)
　　　(2　-1　2)(b)　+　 ( 2)
　　　(2　-2　3)(c)　　　( 2)
　とすぐに終わってしまいます。
(行列として表そうとすると3行4列の行列になります。)

補足

本来の問題は
三次元実ベクトル空間R^3において
平面P；x-y+z+1=0
直線L；2(x-1)=-y=-z
を考える。
問１
平面を張る２つの線形独立のベクトルa,bと
直線ベクトルcを求めよ
という問題で
質問したのは
問２
任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換をあらわす行列Aを求めよ
です。
問１でベクトルa,b,cを求めていたので問題文にいれて質問させて頂きました。

回答No.3

think2nd

直線の方向ベクトルを,→C=(1,-1,1)とする。PとLの交点の座標はO'(-1,4,4)である。
この平面PはA(-1,0,0)とB(0,1,0)を通るから→O'A=(0,4,4)より→a=(0,1,1)と→b=→O'B=(1,-3,-4)
、この2本のベクトルの張る平面である。平面P上の点O'が原点に来るように平行移動すれば(-(→OO')移動)その平面πの方程式はx-y+z=0となりこの平面に直線Lに平行な射影をすれば、その写像は一次変換になる。その行列をA'とすると。射影によって→aと→bはπに含まれるからA'→a=→a,　A'→b=→b、→cは点になるからA'→c=→0
が成り立つ。
すなわちA'[→a　→b　→c]=[→a　→b　→0]　となるから
　A'={{0,1,-1},{2,-1,2},{2,-2,3}}これが一次変換を表す行列である。
任意の点(ベクトル→pとすると)→pを-(→OO'ずらして)Aで変換して→OO'でもとにずらす変換が問題のAのことになる。

回答No.2

alice_44

平面 P が原点を通らないので、問題の「線型変換」は
一次変換ではなく、定数項が付いた「アフィン変換」
になっている …という点が、解りにくいのでは？

P に平行で原点を通る平面 P' : x-y+z=0 を考えると、
行列 A による一次変換は、三次元空間の各点を
L に沿って P' 上へ射影する。
a, b は P' の基底でもあるので、
Aa=a, Ab=b, Ac=0 が納得できると思う。

問題の変換は、この A と、P 上の一点 q を使って、
A(x-q)+q と表される。q は P 上の点なら何でもいい。

回答No.1

naniwacchi

3つのベクトルは1次独立なので、
それらを「軸」とした空間座標系をイメージしてみては？
ab平面(平面P)上であれば c→方向の成分はないはずとか。