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線形代数I 空間における平面の交線
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平面 ax+by+c=0 の式で (a,b,c) はこの平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）であることをまず押さえてください。 （１）LはＳ１，Ｓ２上ににあるので，それぞれの法線ベクトルに垂直です。従って， (1,2,1),(2,5,-1)に垂直なベクトルを求めれば，これがＬの方向ベクトルです。 求め方は (x,y,z)とおいて内積０より求めます。一意には定まりませんが例えば(-7,3,1) （これは，２つのベクトルの「外積」を求めることなのですが，簡単な求め方がありますので，調べてみて下さい） ２つの平面は原点を通っていますから，Ｌも原点を通ります。よってＬ上の点を(x,y,z)とすると (x,y,z)=t(-7,3,1) tは任意の実数 が求める答えです。ただし通常tを消去して x/(-7) =y/3 =z/1 の形にします。 （２）Ｌ上の点は(x,y,z)=(-7t, 3t, t)なのでＳ３のx,y,zに代入してt=1が求まると思いますので(-7,3,1) （３）平面の方程式を作るには，その上の1点と，法線ベクトルが必要です。 Ｓ４上には原点と(2,2,4)があります。 法線はＬの方向ベクトル(-7,3,1)とベクトル(2,2,4)に垂直なので,例えば(1,3,-2)と出ます。 Ｓ４上の任意の点を(x,y,z)とすると，ベクトル(x,y,z)とベクトル(1,3,-2)が垂直より（内積０） x+3y-2=0 ＊座標は原点を始点と見たときベクトルです。 」
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- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
これ 高校生の問題です。 線形らしく解いても (1)はS1 S2とも同次方程式ですから原点を含みます。よって交線も原点を通ります。 S1 S2 の法線ベクトルがそれぞれベクトルa=(1,2,1)、ベクトルb=(2,5,-1) ですから、交線の方向ベクトルはa,bの外積ですa×b=(-7,3,1) より、交線Lの方程式は-x/7=y/3=z (2)は(1)を代入してx,yを消去すればできると思います。 (3) Lを含む平面の方程式はkを定数として x+2y+z+k(2x+5y-z)=0 (平面束のような式です。)とおけます。 (2,2,4)を含みますからこの式に代入すると10+10k=0 ∴k=-1ですから、 求めるS4はx+3y-2z=0 くらいです。図を書いて根本を理解しましょう。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
(1) S1,S2をx,yの連立方程式と見倣してx,yを求めると x=-7z,y=3z …(A) 従って交線Lの方程式は x/(-7)=y/3=z …(B-1) または x/7=y/(-3)=z/(-1) …(B-2) (2) (A)をS3に代入して -7z+9z+z=3 ∴z=1 (A)に代入 x=-7,y=3 ∴交点P(-7,3,1) (3) S4を ax+by+cz=d (ただしa,b,c,dは同時に0ではない) …(C) とおくと点（2,2,4）が(C)上にあることから 2a+2b+4c=d 点P(-7,3,1)も(C)上にあることから -7a+3b+c=d …(D) L上の点(7,-3,-1)も(C)上にあることから 7a-3b-c=d …(E) (C),(D),(E)から b=3a,c=-2a,d=0 (a≠0) (C)に代入 ax+3ay-2az=0 a≠0で割って 平面S4の方程式は x+3y-2z=0
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