平面束

質問

空間において、(直線1の方程式)+k(直線2の方程式)=0が平面を表すことが疑問なので質問します。
１問目は、xyz空間において、直線x+y=4、z=1を含む平面αと、球x^2+y^2+z^4=4との交わりの半径が１の円であるとき、αの方程式を求めよという問題で、
平面z=1と球面との交わりは半径√3の円だから、平面z=1は平面αではない。そこで、αの方程式は、x+y-4+k(z-1)=0・・・(1)と表すことができる。と解説に書いてあるのですが、(直線1の方程式)+k(直線2の方程式)=0は平面では、直線1と直線２の交点を通るすべての直線(直線2は除く)を表すので、空間でも(1)は直線x+y-4=0とz-1=0との交点を通るすべての直線を表すと思ったのですが、なぜ平面αを表すのでしょうか？自分なりのこじつけをすると、x,y,zを含む方程式だから、(1)は平面を表すとか、直線x+y-4=0とz-1=0は平行で交わることはない、両方を含むのは平面になるからと思いました。
また、２問目は、直線L:(x-1)/2=y+2=1-zを含み、 点A(1,2,-1)を通る平面αの方程式を求めよ、という問題で
直線Lを(x-1)/2=y+2とy+2=1-zに分けて、x-2y-5=0とy+z+1=0とし、ゆえにL上の点(x,y,z)はすべて(x-2y-5)+k(y+z+1)=0・・・(2)を満たす、すなわち、kがどんな実数値をとっても、この方程式はLを含む平面を表すとかいてあるのですが、x-2y-5=0とy+z+1=0がそれぞれz軸に平行な平面とx軸に平行な平面を表せば、(2)はLを含む平面を表すことは納得できるのですが、x-2y-5=0とy+z+1=0がxy平面上の直線とyz平面上の直線ととらえてしまうと、１問目同様に平面を表すことが疑問になります。
どなたか、(直線1の方程式)+k(直線2の方程式)=0が平面を表すことを解説してくださいお願いします。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

> (直線)x+y=4、z=1を含む平面α
よく考えましょう。x+y=4を満たす(x,y,z)の集合は平面、同様にz=1を満たす(x,y,z)の集合は平面ですが、「x+y=4『かつ』z=1」を満たす(x,y,z)の集合は直線です。

> またx=3,y=1が直線ということは、tを実数として
> (3,1,-2+t)で点(3,1,0)を通るz軸に平行な直線を表す
まあ(3,1,-2+t)と書いたからには「点(3,1,-2)を通るz軸に平行な直線」の媒介変数表示と見るのが普通ですが、(3,1,0)も通るのでその通りです。

この問題を解く前に、空間における直線の方程式、平面の方程式を復習する方がいいと思います。

お礼

自分も考えなおしていたら、直線x+y=4と直線z=1の2つの直線ではなく。直線x+y=4が平面z=1上にあると推測していました。それは間違いで、平面と平面の交線をあらわしているのですね。
また空間で、x=3,y=1が直線ということは、x+y=4は直線でない例といううのは、問題とは関係がなかったかもしれません。すいませんでした。
２回も回答をくれてありがとうございます。

回答No.5

Winter_5

"確かに、・・・球x^2+y^2+z^2=4との交わり・・・が正しいです。ご指摘ありがとうございます。"
-------------------------------------------------
えぇ！？。”z^2”が正しかったのですか。
驚きました。

実は私くし、この問題が解けなくて、悔しくて
出題者にケチつけてやろうと思って
適当に言ったものです。

しかし、それが正解だったとは、
世の中・・・・・・。

富士山のふもとに樹海と言う自殺の名所が
あります。中に一度、入り込むと方角が
わからなくなり、外に出られなくそうです。

問題を解くのも、同じです。問題に対して
今自分はどこにいるのか？自分の立ち位置は
どこなのか？そこをはっきり確認しておくことです。

そうしないと樹海から抜け出ることはできません。

Ｚ＾２の時の問題は、円錐台のようなグラフに
なるのではないか？と思ったりするのだが
根拠のない、勝ってな、想像に過ぎないのだが。すみません。

お礼

樹海の例えは怖いですが、数学をするときの心構えにしようと思います。お返事ありがとうございます。

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato）

まず、三次元空間（xyz座標）において、等号が一個ある一次式で表される図形は「平面（二次元の図形）」となる、ということを頭に入れておいてください。

（例）「z = 0」はxy平面のこと
（例）「x + y = 4」は、「xy平面における直線 x + y = 4 をz軸方向に平行移動させたときに直線が通過してできる平面」のこと

（※等号が１つ付くたび束縛条件がひとつ増えて次元が一つ下がる、と考えるのもよいかと思います。xy座標系においては、等号一個の一次式は「直線（一次元の図形）」を表します）

＞直線x+y=4、z=1を含む平面α

この文章は、より細かく表すと
『「x + y = 4 かつ z = 1」で表される直線を含む、ある平面α』
となります。
xyz空間では、「x + y = 4」という等式が表す図形は平面です。「z = 1」という等式が表す図形もまた平面です。
この２つの平面の交線をLとすると、Lの方程式の表し方のひとつが
「L : x+y=4 かつ z=1」
です。ここで、実数kを用いて
「(x + y - 4) + k (z - 1) = 0」…★
という方程式をつくると、
「直線L上にある点 (x , y , z) はすべて等式★をみたす」
すなわち「直線Lは、★で表される図形に含まれる」
ことがわかります。
ここで★も等号が一個の一次式ですので、この★によって平面αを表すことができます。

＞直線Lを(x-1)/2=y+2とy+2=1-zに分けて

後半(2)についても同様です。
「(x - 1) / 2 = y + 2」が表す平面と
「y + 2 = 1 - z」が表す平面が交わっており、その光線がLです。

お礼

平面の式の見分け方は知識として暗記します。自分はx+y=4の平面の解説があり、やっとわかった気がします。アドバイスありがとうございます。

回答No.3

Winter_5

１問目は、xyz空間において、直線x+y=4、z=1を含む平面αと、球x^2+y^2+z^4=4との交わりの半径が１の円であるとき、αの方程式を求めよという問題で、
-----------------------------------------------------
球x^2+y^2+z^4=4とありますが
z^4 -------> z^2ではありませんか？

お礼

確かに、・・・球x^2+y^2+z^2=4との交わり・・・が正しいです。ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

> 空間でも(1)は直線x+y-4=0とz-1=0との交点を通るすべての直線を表すと思ったのですが、

3次元空間では、x+y-4=0は『直線ではない』し、z-1=0も『直線ではない』。
実際、3次元空間ではxy平面というのはz=0なのだから、z-1=0, つまりz=1も3次元空間では明らかに平面でしょう？同様に x+y-4=0も直線ではなく平面。一旦そこから考え直してください。

お礼

回答ありがとうございます、考え直してみます。

補足

よければお返事ください。
問題文では、xyz空間において、(直線)x+y=4、z=1を含む平面αと、球x^2+y^2+z^4=4との交わりの半径が１の円であるとき、αの方程式を求めよで直線と書いてあるのは、誤植でしょうか？　調べたら、点(3,1,-2)を通りz軸に平行な直線は、方向ベクトル(0,0,1)より　x=3,y=1らしいので、直線x+y=4はおかしいですね。またx=3,y=1が直線ということは、tを実数として(3,1,-2+t)で点(3,1,0)を通るz軸に平行な直線を表すことと考えればよいでしょうか？よろしくお願いします。