平面の方程式について

質問

3次元空間を考える。直線l,mの方程式を
l:x-1=y+2/2=z-3/-2
m:x+1/-2=y-2/2=z+3　　とする。
(1)直線l,mをベクトル方程式で表せ。
(2)直線lを含み、直線mに平行な平面πの方程式を求めよ。
(3)平面πと直線mの距離hを求めよ。

(1),(2)はできたんですが、(3)がわかりません。
点と平面の距離の公式を使えばいいんでしょうか・・・。

回答No.4

info22

#2です。
A#2の補足解答について

(1)やり方はあっていますがケアレスミスあり。
> 直線lのベクトル表示は
> (x,y,z)=(1,-2,3)+t(1,2,3)
正解は　(x,y,z)=(1,-2,3)+t(1,2,-2)
(2)の方には正解が書いてある。

> 直線mのベクトル表示は
> (x,y,z)=(-1,2,-3)+s(-2.2.1)
正解。

(2)は間違い。あなたのやり方で求まるのはlを含みmに垂直な平面になり、
πになっていません。

> 直線lは(1,-2,3)をとおり方向ベクトルが(1,2,-2)
> そこで、求める平面は(1,-2,3)を含み、その法線ベクトルは(1,2,-2)に垂直。
> 平面の式をa(x-1)+b(y+2)+c(z-2)=0とおくと、
この平面の式は間違い。次のように置くべきです。
　a(x-1)+b(y+2)+c(z-3)=0

> 法線ベクトルは(a,b,c)より(a,b,c)(1,2,-2)=0

> またこの平面は直線mに平行なので、その方向ベクトルは(-2,2,1)であり、
> これは(a,b,c)(1,2,-2)=0をみたすので、
> -2(x-1)+2(y+2)+1(z-2)=0
間違い。
正しくは　-2(x-1)+2(y+2)+1(z-3)=0
ただしこれは mに垂直な平面の方程式です。
（平面の法線とmは並行です。）
πの方程式ではありません。

> -2x+2y+z=-3
これはlを含みmに垂直な平面です。
πではありません。

(a,b,c)は
(a,b,c)(1,2,-2)=0
(a,b,c)(-2,2,1)=0
を満たすように決めないといけません。
a+2b-2c=0　かつ -2a+2b+c=0
これを解けば
a=c=2b (≠0)から，(a,b,c)=k(2,1,2)
したがってπの式は
2(x-1)+(y+2)+2(z-3)=0　…(*)
この式を簡単化すればπの解になります。

(3)m上の点 (-1,2,-3)から平面πに下した垂線の長さの公式から答が計算できます。

分からなければ、平面外の点から下した垂線の長さの公式を書いて補足質問して下さい。

お礼

丁寧な説明をありがとうございました。よくわかりました。
平面πと直線mは平行だから難しく考えなくてもよかったんですね；

回答No.3

narucross

式で書くと煩雑になると思われますので方針のみ示したいと思います。

２よりπとmの距離は平行だから一定ですよね。
それがわかっていれば、点と平面の距離の公式（点と直線の距離の公式の一次上がったみたいな式）なんか使わなくても、直線ｍ上の適当な、計算楽そうな点Ａを取った上で、その点から平面πに垂線を下してみます（足をＨとする）。
そうすると平面πの法線ベクトルは分かっているわけだから、そのベクトルとＡＨベクトルが平行になる条件を使って、直線ＡＨ上の任意の点がパラメータを用いて表現できますよね。それを使ってＨの座標を求めれば、ＡＨがわかり、答えとなります。

Ｈの座標の求め方について別海を示すとすれば・・・
直線l上の点を二つ適当に取り、Ｂ、Ｃとすれば、ＡＨベクトルと、ＢＨベクトル、ＣＨベクトルとのそれぞれの内積が０になることを用いてもよいかと。高校生の知識のみでも求められます。

＃２さんへの補足の中に、少し数値がおかしなところがあります。もう一度はじめから取り組んでみるのもよいかと思います。

お礼

ありがとうござました。
Hの座標の求め方についての別解はとても参考になりました。

回答No.2

info22

マナー違反の質問ですので、そうならないためには
> (1),(2)はできたんですが、
(1)と(2)の解答を補足に書いて下さい。

その後(3)を補足します。

補足

マナー違反とのこと、申し訳ないです。今後気をつけます。
以下、回答です。間違っているかもしれないですが（汗）

(1)x-1=y+2/2=z-3/-2=tとおくと
x=t+1、y=2t-2、z=-2t+3とあらわせるので、
直線lのベクトル表示は
(x,y,z)=(1,-2,3)+t(1,2,3)
同様に、
直線mのベクトル表示は
(x,y,z)=(-1,2,-3)+s(-2.2.1)
(s,tは任意の実数)

(2)
直線lは(1,-2,3)をとおり方向ベクトルが(1,2,-2)
そこで、求める平面は(1,-2,3)を含み、その法線ベクトルは(1,2,-2)に垂直。
平面の式をa(x-1)+b(y+2)+c(z-2)=0とおくと、
法線ベクトルは(a,b,c)より(a,b,c)(1,2,-2)=0
またこの平面は直線mに平行なので、その方向ベクトルは(-2,2,1)であり、
これは(a,b,c)(1,2,-2)=0をみたすので、
-2(x-1)+2(y+2)+1(z-2)=0
-2x+2y+z=-3

回答No.1

koko_u_

>点と平面の距離の公式を使えばいいんでしょうか・・・。
うん。平面πと直線 m は平行だからね。

お礼

ありがとうございます。
そうですよね・・・ただ公式をどう扱っていいかわからなくて困っています。