平面の方程式

質問

平面α：4x-y-z=6　が　直線ｌ：1-x=y+1=(z-2)/4　を含み平面αと45°の角をなす平面の方程式を求めよ　という問題なのですが

αとlの交点が（4/3,-4/3,2/3）とαの法線ベクトルが（-4,1,1）というところまでは何とか求めました。
この続きはどのように進めればよいか分かりません・・・。

見通しとしては、ｌを含み平面α垂直な平面（仮にβとおく）の式を求めてからαとβの両方に距離が等しい平面の式を求めようと思うのですが、平面βの式はどうすれば求められますか？
アドバイスをお願いします。それかもっと良い解き方がありますか？

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

質問者さんが考えた方法でも可能かもしれませんが、なんか遠回りのような気がするので、別の方法を。

求める平面の法線ベクトルの単位ベクトルを(s,t,u)とすると、
s^2+t^2+u^2=1

直線l上のベクトルの１つは(1,-1,-4)で、
ベクトル(1,-1,-4)とベクトル(s,t,u)は直交することから、
s-t-4u=0

αの法線ベクトル(-4,1,1)とベクトル(s,t,u)は45°の角をなすことから、
-4s+t+u=√(4^2+1^2+1^2)*cos45°=3

以上の３つの方程式を解けばs,t,uが求まります。

平面の式は、(0,0,6)を通ることから、
sx+ty+u(z-6)=0
となります。

(s,t,u)の組は２つありますが、どっちを使っても平面の式は同じになります。

お礼

回答ありがとうございます。求める平面の法線ベクトルを単位ベクトルで表すというのは全く思いつきませんでした。そうすることで45度をなすベクトルとの内積も数値で表せてしまうのはなるほど！と思いました。すっきりしました！