線形代数の3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式

質問

線形代数の、3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式の問題を教えて下さい
この問題が分かりません
3 次元空間において次の問いに答えなさい.
(1) 原点を含む法線ベクトル
1
　 2
－1
の平面S の方程式を求めなさい
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
という問題です。皆さんお願いします
教えて下さい

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
＞ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
＞直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/2=u、2-z=-u→z-2=u
よって直線の方程式は4-x=(5-y)/2=z-2・・・答
x+2y-z=0に4-x=(5-y)/2→y=2x-3、4-x=z-2→z=6-xを代入
x+2(2x-3)-(6-x)=6x-12=0、x=2、y=2*2-3=1、z=6-2=4
よってLとS の交点は(2,1,4)・・・答
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
＞3点(0,0,0)、(4,5,2)、(2,1,4)を含む平面上の任意の
点を(x,y,z)とすると、u,vを実数として
↑(x,y,z)=u↑(4,5,2)+v↑(2,1,4)
要素を比較してx=4u+2v(ア)、y=5u+v(イ)、z=2u+4v(ウ)
(ア)(イ)からu,vをx,yで表すとu=(2y-x)/6、v=(5x-4y)/6
これらを(ウ)に代入して
z=2u+4v=2{(2y-x)/6}+4{(5x-4y)/6}=(3x-2y)
よって、3x-2y-z=0・・・答

お礼

とてもよく分かりました。
有難うございます。
大いに助かりました

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

(1) {(1, 2, -1)-(0, 0, 0)}・{(x, y, z)-(0, 0, 0)} = x + 2y - z = 0 (法線ベクトルの定義より)

(2) 交点の座標を (Lx, Ly, Lz) とすると

(Lx, Ly, Lz)-(4, 5, 2) = λ(1, 2, -1) (法線ベクトルに平行)
で　Lx + 2Ly - Lz = 0

未知数4個、式4個なので解けます。

(3) (Lx, Ly, Lz) と (4, 5, 2) と (0, 0, 0) を通る方程式を
導けばよい。

(0, 0, 0) を通るから ax + by + cz = 0 に (Lx, Ly, Lz) と (4, 5, 2)
を代入して,
a, b, c の関係(比)を導けばよい。

お礼

ありがとうございます