空間ベクトルの球について。

質問

空間ベクトルの球について質問です。

基礎問題なのですが、空間において球だけ理解できません。

点(-2,3,1)を中心とする球が平面x=3と接している。
(1)この球の方程式を答えよ。
(2)この球が平面y=-1と交わってできる円の中心と半径を求めよ。
(3)点(6,6,3)を通り、u↑=(4,3,-1)に平行な直線が、この球と2点で交わっている。その交点の座標を求めよ。

以上の問題について教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

基礎的な問題なので、問題の丸投げをしないで、
どの教科書や参考書に載っているようなことは、質問者さんの解答を
書いて、分からないところだけ質問するようにして下さい。

解き方）
(1)点(-2,3,1)を中心とする半径rの球の方程式は分かりますね。
　半径r=3-(2)=5とするだけ。

(2)円の中心のy座標はy=-1,xおよびz座標は球の中心座標と同じ。
半径が分かるようにz=1の球の断面で考えてみれば三平方の公式から
半径が出てきます。

(3)直線の式はどの教科書にも載っているでしょう。
(x-6)/4=(y-6)/3=(z-3)/(-1)
これと球の方程式と連立にして解けば2点の座標が求まります。

質問は、補足に質問者さんの途中計算を書いて、その上で分からない箇所を補足質問して下さい。

お礼

分かりました。申し訳ありませんでした。

今この場に教科書などがなく、まだ習っていない箇所だったので質問させて頂きました。

回答No.4

noname#99245

少し、補足説明をしてみます。
この問題は、どの問題集（参考書）のものでしょうか。たぶん教科書ではないのでは？　ひょっとすると古い年度の入試問題かもしれませんね。現行の高校数学は、空間図形についてやや不十分ないので（←あくまで私見です(^_^;)）、この手の問題を解くのにみなさん苦労させられるようです。
さて、
(3)番の「点(6,6,3)を通り、u↑=(4,3,-1)に平行な直線が、この球と2点で交わっている。その交点の座標を求めよ」において、点(6,6,3)を通り、u↑=(4,3,-1)に平行な直線の方程式を求めなければなりませんね。
これは、『点A(a,b,c)を通りベクトルu=(l,m,n)に平行な直線の方程式は、(x-a)/l=(y-b)/m=(z-c)/nで表される』という公式から求められます。
（なお、この公式は、教科書にはよっては書かれていないかもしれません。これは、直線上の点Ｐの位置ベクトルは　ベクトルOP=ベクトルOA+tベクトルu　と表せるので、これを成分表示して、変数tを消去すればこの公式が導けますよ）　
ですから、先にinfo22さんが解答してくださった
(x-6)/4=(y-6)/3=(z-3)/(-1)
が求められるのですね。

回答No.3

info22

#2です。
参考に問題の図を描きましたので、教科書や参考書を一通り予習して、基礎的な知識をものにしてから、やってみて下さい。

お礼

くわしくありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

（１）球の中心から平面ｘ＝３に垂線を下した時、その交点が球上の点だということですよね？交点の座標は容易に判ると思いますよ。
（２）球の中心から平面ｙ＝－１に推薦を下したとき、その交点が求める円の中心ですね？あとは三平方の定理です。
（３）通過点と傾きが与えられているので直線の式が出ます。この式を使って球の式から二つの文字を消去すれば交点の座標が出ます。