空間座標 球面上の点と空間にある点の距離について

質問

空間座標において

「『球面上の点と空間にある点P』との(最短)距離」は球面中心と点Pを結んだ距離と球面の半径と差で求めると思うのですが、感覚的にはわかる気がしますし、平面座標だと分かりますが、空間座標になると本当にそうなのかと思ってしまいます。式で証明することができるのでしょうか。

また、「『球面上の点と直線の点』との距離」や「『球面上の点と平面の点』との距離」も同じように球面の半径から直線の点もしくは平面の点に垂線を下ろして考えるのでしょうか。

回答No.4

maskoto

この問題の具体的な解き方は次のとおり
(2)の流れから
→AQ＝s(→AB)+t(→AC)
→PQ＝(→PA)+(→AQ)
＝(2，-5，2)+s(-1、-1、0)+t(-1、0、-1)
＝成分計算はご自分で！

PQが法線ベクトルのときPQの長さは最小
法線ベクトルになるためには
(→PQ)・(→AB)＝0
(→PQ)・(→AC)＝0
これら内積の成分計算をして
s、tの連立方程式を導き、stの値を求める

…PQ²の値が求まる
…PQの距離が求まる
…RQ＝PQ-半径

これで行けるかと思われます…

回答No.3

maskoto

(3)水平面の上に球が浮かんでいる所をイメージする
球の中心から平面に垂線OHをおろし
OHと球面の交点をQとすれば
球面と平面上の点のうち、最接近しているものはHとQであるから
HQの距離を求めることになる
そのためには、平面の法線ベクトルnを求め、Oをとおりnに平行な直線と平面の交点Hの座標を求める
そこに(2)の誘導は使えそう…
Hの座標が求まれば
HQ＝OH-半径
として答えが出るのでは

補足

返信していただきありがとうございます。

文字が少しバラバラになってしまったので、問題文通りにさせていただきます。すみません。

球面Sの中心P
球面S上の点R
平面α上の点Q

球面Sの中心Pから下ろした垂線の足が点Qとなり、球面Sとこの垂線の交点が点Rということでしょうか。
平面の法線ベクトル→n(1,-1,-1/2)だと思うのですが、点P(-1,5,-2)を通り、→nに平行な直線の方程式を求めることできますが、どこで(2)の誘導を使うのでしょうか。

この問題は先程説明して頂いたように、
円の中心をPとおくと、
|→RQ|²＝(→PQ−→PR)・(→PQ−→PR)
＝|→PQ|²+|→PR|²-2(→PQ)・(→PR)
＝|→PQ|²+|→PR|²-2|→PQ||→PR|cosθ
(cosθは→PQと→PRのなす角度)
から求めることはできるのでしょうか。

回答No.2

maskoto

球の中心をＯ
球面上の任意の点をQ
Q外の定点をP
とする
→　はベクトルを表すものとして
|→QP|²＝(→OP−→OQ)・(→OP−→OQ)
＝|→OP|²+|→OQ|²-2(→OP)・(→OQ)
＝|→OP|²+|→OQ|²-2|→OP||→OQ|cosθ
(cosθは→OPと→OQのなす角度)
について、
|→OP|と|→OQ|の値は一定だから
|→QP|²が最小値をとるのは
cosθが最大値を取るときである
すなわちθ＝0のときである
|→QP|²が最小ならば|→QP|も最小となるから
|→QP|が最小値をとるのはθ＝0のとき
すなわち、OQPがこの順に一直線上に並ぶときである

これで、前半の質問の回答になっているでしょうか？
残りは、あなたの反応を待って解説するとします…

補足

返信していただきありがとうございます。

大変わかりました。ありがとうございます。
「『球面上の点Qと空間にある点P』との距離」は球面の中心まで結んでしまって考えると解けるんですね。ありがとうございます。

「点と直線の距離公式」や「点と平面の距離公式」の証明の一つである法線ベクトルを使って解く方法もあるのかな、とも思っていました。

空間座標において、点と直線の距離を求める際は点から直線に下ろした垂線の足や法線ベクトルを使って距離を求めることができますが、球面上の点と直線上もしくは平面上の距離はどのように求めることができますでしょうか。

【問】座標空間においてA(1,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,-2)を定める平面をαとし、方程式x²+y²+z²+2x-10y+4z+21=0が表す球面をSとする。
(3)点Qが平面α上を動き、点Rが球面S上を動くとき、QとRの距離の最小値を求めよ。

(2)で、→AD=s(→AB)+t(→AC) (実数s,t)でDの座標を表すように指示されています。
(3)の方針だけでも教えていただけると嬉しいです。

※新潟大学2024前期の数学の問題
です。調べて頂くと出てきます。

回答No.1

gamma1854

p,q,r,R を定数(R>0) として、空間内の定点P(p, q, r)と、Oを中心とし、半径Rの球面上の点Q(x, y, z)との距離の最小値は、
F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-R^2=0 ...(*) のもとで、
f(x, y, z)=(x-p)^2+(y-q)^2+(z-r)^2 の極値を求めることでわかります。
詳細は書きませんが、Lagrangeの未定乗数法により、
x=p*R/sqrt(p^2+q^2+r^2), y=q*R/sqrt(...), z=r*R/sqrt(...) のとき、fの最小値が、(R - sqrt(...))^2 であることがわかります。