空間ベクトルの問題です。

質問

問題は次のようなものです。

空間内の直線 (x-1)/2 = y+2 = 1- z を含み 点（1、2、-1）を通る

平面の方程式を求めよ。

解答は　x　+　2y　+　4z　＝　1　ですが、どうやって計算するか分りません。

よく法線ベクトルと1点から平面の方程式を求めるようですが、この問題では

どうしたらいいのでしょうか？

お分かりになる方がいましたら、お教えください。お願いします。

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

どうしてもわからないなら、別の問題に置き換えてしまうのも一つの手です。

方法1:3点で張られる平面を求める。
直線:(x-1)/2 = y+2 = 1-z　上の2点を適当に選ぶ。
(x-1)/2 = y+2 = 1-z = 0　とおくと (1,-2,1)
(x-1)/2 = y+2 = 1-z = 1　とおくと (3,-1,0)
を通ることがわかります。
(1,-2,1),(3,-1.0),(1,2,-1)の3点を通る平面を求める問題に置き換わります。
これはax+by+cz=dとして上記の3点を代入、a,b,c,dの関係を求めることでわかります。

方法2:法線ベクトルを求める。
直線:(x-1)/2 = y+2 = 1-z の方向ベクトルは(2,1,1)です。
直線上の適当な1点を取り出します。ここでは方法1で求めた(1,2,1)を使いましょう。
(1,2,-1)と直線上の点(1,2,1)を結ぶベクトル(0,0,2)は平面上のベクトルです。
つまり法線ベクトルは
(2,1,1)と(0,0,2)の二つのベクトルに直交します。この条件から法線ベクトルを求める。

お礼

いろんな考え方があるのが分りました。

やっと理解できました。

ありがとうございます。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

平面の方程式の一般解は

ax + by + cz = 1

なので未知数は a, b, c の3個。

これに対して、(x, y, z) の組が3個あれば
連立方程式で、a, b, c が求まります。

直線の方程式から直線上の適当な2点を得て
計算すればすぐに計算できます。
どれかが 0 になるように選ぶと計算が楽でしょう。

＃外積とかをご存じなら、もっと簡単かつ機械的に計算できますが．．．

お礼

参考書片手にやっと理解できました。

ありがとうございます。

またよろしくお願いします。

回答No.2

chanp2

求める平面を　ax+by+cz+d=0　(1)
と仮定します。

条件　直線 (x-1)/2 = y+2 = 1- z を含むより

　　x=3-2z y=-z-1 　　を(1)に代入し整理すると

　　(-2a-b+c)z+3a-b+d=0 この式が、恒等式であるためには

　　-2a-b+c=0 (2)

3a-b+d=0　　(3)

次に条件、平面は 点（1、2、-1）を通ることより
　　　a+2b-c+d=0 (4)

(2)(3)(4)をa,b,c に関する連立方程式と考えて解き、a,b,c をd で表すと
　　a=-d 　　 b=-2d 　　c=-4d

る。これを(1)に代入すると

　　-dx-2dy-4dz+d=0 となる。

　　明らかにd≠0 と考えてよいので　　

　　　　求める平面は　x+2y+4z=1

お礼

連立方程式の作り方がよく分りました。

ありがとうございます。

また宜しくお願いします。

回答No.1

tomokoich

前半の式から
(x-1)/2=y+2
x-1=2(y+2)
x-2y-5=0---(1)
後半の式から
y+2=1-z
y+z+1=0---(2)
(1)(2)を含むので平面の方程式は
p(x-2y-5)+q(y+z+1)=0と表せます---(3)
これが（1,2,-1)を通るので
p(1-4-5)+q(2-1+1)=0
-8p+2q=0
q=4p
これを(3)に代入すると
p(x-2y-5)+4p(y+z+1)=0
x-2y-5+4(y+z+1)=0
x+2y+4z=1になります

お礼

参考書見ながらやっと理解できました。

すぐに解答できるのに驚きます。

感心しています。

ありがとうございました。