ベクトルに関する問題です。

質問

下記の２問について解法を教えていただきたいです。

(１)
点(2,-1,6)を通りベクトル(3,1,-1)に垂直な平面と次の方程式で表される直線との交点を求めよ。
x/-1=(y-1)/5=z

(2)
次の２直線を含む平面の方程式を求めよ。
(x-1)/3=(y+2)/4=(z+3)/-5,(x+1)/3=y/4=(z-1)/-5

(1)・(2)の問題と共に解法を教えて頂きたいです。
出来るのであれば途中式がどの様になるのかも教えていただけると嬉しいです。
お願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

fantasista8さん、こんにちは。

＞(１)
点(2,-1,6)を通りベクトル(3,1,-1)に垂直な平面と次の方程式で表される直線との交点を求めよ。
x/-1=(y-1)/5=z

点(2,-1,6)を通り、法線ベクトルが(3,1,-1)なのですから
この平面の方程式は、

3(x-2)+(y+1)-(z-6)=0

ということになると思います。（平面の方程式参照）

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/kuukan-to-bekutoru/heimen-no-houteisiki.html

x/-1=(y-1)/5=z =t
として、媒介変数tでx,y,zをそれぞれ表してみましょう。
これを、先ほどの方程式に代入すれば、実数tが求められますので、
それよりx,y,zは全て求められます。

＞(2)
次の２直線を含む平面の方程式を求めよ。
(x-1)/3=(y+2)/4=(z+3)/-5,(x+1)/3=y/4=(z-1)/-5

２直線が交わる場合と、平行な場合に分けて考えたらいいですね。
どうやら、この２直線は平行になっているようですが、
法線ベクトルを(a,b,c)として内積からa,b,cが求められます。
（直線の方向ベクトルと、平面の法線ベクトルの内積を取ればゼロ）

頑張ってください！

参考URL：

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/kuukan-to-bekutoru/heimen-no-ho

お礼

なるほどその様に解けばよいのですね。
わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#6715

(1)

A(2,-1,6) $α$=(3,1,-1)とする。
求める交点をP(x,y,z)とすると

$AP$=((　1　),(　2　),(　3　))
である
ここで$α$と平面が垂直だから
$AP$・$α$=(　4　) = 0・・・・A
が成り立つ
また、仮定より
x/(-1)=(y-1)/5=z・・・・B

★ひょっとしてx/(-1)ではなくx-1ですか？

AとBの連立方程式を解くと

x=(　5　)
y=(　6　)
z=(　7　)

お礼

考え方とよいヒントをありがとうございます。
頂いた回答を元に解いてみたいと思います。
ありがとうございました。