ベクトルの問題についての質問

質問

こんにちは。ベクトルについての質問です。楕円体と平面の式が、それぞれx^2+2y^2+3z^2=6, x+2y+3z=8で与えられている時、その平面に最も近い楕円体上の点を求めよという問題です。楕円体に垂直なベクトルは(2x,4y,2z)で、平面に垂直なベクトルは(1,2,3)であることは分かったのですが、これからどうすれば良いか分かりません。分かる方なるべく詳しく教えてください。宜しくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>楕円体に垂直なベクトルは(2x,4y,2z)で、
楕円体上の点(x,y,z)における垂直なベクトル(2x,4y,6z)=2(x,2y,3z)
>>normal vector は、(a,2b,3c)とありますが、
いずれも最終的には同じですね。単なる楕円上の点を(x,y,z)と置くか(a,b,c)と置くかの違いです。ベクトルは正規化された単位ベクトルではありませんから、定数倍の差があっても支障はないですね。
最短距離になる楕円上の点は質問者さんの(x,y,z)と#1さんの(a,b,c)は同じ点です。結果的には(1,1,1)となります。
A#1の補足
>楕円体に垂直なベクトルは、(2x,4y,6z)なのでこれに(a,b,c)を代入すると(2a,4b,6z)になると思うのですが、間違いでしょうか？
代入しても意味がないです。
(2a,4b,6z)のzはcの間違いです。
質問者さん：(2x,4y,6z)=2(x,2y,3z)
A#1では接平面の接点を(a,b,c)と置いていて垂直ベクトルを
(a,2b,3c)としていて
質問者さんの(x,y,z)と#1さんの(a,b,c)は同じ点です。垂直なベクトルはつまり(2x+4y+6z)=2(x,2y,3z)=2(a,2b,3c)です。垂直ベクトルと言う場合は定数倍（=2）は問題にしません。

本題に入って、楕円体上の平面にもっとも近い楕円体上の点はA#1の(1,1,1)が正解です。ただA#1では距離が最小と言うことが明示的に書いてありません。平面に垂直なベクトルの方向成分比と楕円体の法線の方向成分比が同じという事から解が導かれています。

そこで、ここでは距離が最小な楕円上の点を求めるやり方で解答を示してみます。

楕円上の点(x1,y1,z1)から平面
x+2y+3z=8
に下ろした垂線の長さLは
L=|x1+2y1+3z1-8|/√(1+2^2 +3^2)=|x1+2y1+3z1-8|/√(14)
z1=√{2-(1/3)x1^2-(2/3)y1^2}
また(x1,y1,z1)は楕円上の点で各座標が実数であることから
2≧(1/3)x1^2+(2/3)y1^2
またもっとも距離が近い点がx1＞0,y1＞0,z1＞0の領域にあることから
L(√14)=f(x1,y1)=8-x1-2y1-3√{2-(1/3)x1^2-(2/3)y1^2}
となります。
f(x,y)=f(x1,y1)=8-x1-2y1-3√{2-(1/3)x1^2-(2/3)y1^2}
の最小値（極小値）は
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0を連立にして(x,y)を求めると
fx(x,y)=-1+[3x/{√3(6-x^2-2y^2)}=0
fx(x,y)=-2+[6y/{√3(6-x^2-2y^2)}=0
(x,y)=(1,1)が得られます。
f(1,1)=8-1-2-3=2=L(√14)
L=2/√14
fxx(1,1)=1/√2＞0、fyy(1,1)=√2＞0となることでf(1,1)つまりLが極小値（最小値）となることが確認できます。
(x,y)=(1,1)に対する楕円上のz座標はz=1ですから、求める楕円上のもっとも平面に近い点は(x1,y1,z1)=(1,1,1)となり、
最短距離Lは
L=2/√14
ですね。
したがって、楕円上の平面にもっとも近い座標点は
A#1さんの(1,1,1)と同じ結果が出てきます。

お礼

親切に別解まで載せていただきどうもありがとうございました。とても良く理解出来ました。またよろしくお願いします。

回答No.3

endlessriver

多分「楕円体面の『法線』と（接平面の）接線は必ず垂直になるのでしょうか」と思います。
回答は「そうです」。それは定義だからです。面の２つの独立な接線ベクトルをa,bとすれば法線ベクトルはa×bのような形で定義されます。

あと、（楕円体面の）ある点から平面の距離は公式があるのでこれらの式からラグランジュの未定係数法で解くこともできます。

回答No.2

endlessriver

楕円体面に垂直なベクトルは(2x,4y,6z)だからこれが平面の法線ベクトルに平行になるにはx=y=z（すなわち=±1）です。この条件で「平面と原点の距離－楕円体面と原点の距離」を計算すればよいと思います。

補足

回答いただきどうもありがとうございます。楕円体の接線と平面の接線は必ず垂直になるのでしょうか？

回答No.1

yhposolihp

>>(x^2)+2(y^2)+3(z^2)=6

点A(a,b,c),,,(a^2)+2(b^2)+3(c^2)=6
接平面は、ax+2by+3cz=6
(a^2)+2(b^2)+3(c^2)=6
normal vector は、(a,2b,3c)

　　 >>x+2y+3z=8
点P(p,q,r),,,p+2q+3r=8
normal vector は、>>(1,2,3)

　　a:2b:3c=1:2:3,,,a=b=c

(a^2)+2(a^2)+3(a^2)=6
6(a^2)=6,,,a=-1は不適。

A(a,b,c)=A(1,1,1)　解。

補足

回答して頂きどうもありがとうございます。>>normal vector は、(a,2b,3c)とありますが、私はnormal vectorは(2a,4b,6z)になると思うのですが、、、。なぜならば、楕円体に垂直なベクトルは、(2x,4y,6z)なのでこれに(a,b,c)を代入すると(2a,4b,6z)になると思うのですが、間違いでしょうか？