線形代数 空間図形とベクトルで 分からない問題があるので教えて下さい。

質問

1.
直線l1: x+1/1 = y+2/2 = z+3/3
l2: x-1/1 = y-2/4 = z-3/-3
この2直線のなす角を求めよ

2.
平面p1:2x+3y+z=0
p2:2x-y-z=2
(1)この二つの平面のなす角を求めよ
(2)二つの平面の交線の方程式を求めよ

教科書にこのタイプの問題が無くて・・・解き方が全く分からないので、詳しい解法を教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.3

info22

#2です。

補足の応答がありませんが、A#2の手順を試みて見られましたか？
追加アドバイス）
１の２直線の方向ベクトルA,Bの内積（A・B）をとると0となるので
cosθ=0となります。θはすぐわかるでしょう。
直線の方向ベクトルや内積の定義は、どんな教科書や参考書でも載っているはずです。

２(1)
平面の法線ベクトルはどの教科書、参考書でも載っていますね。
それらの内積をとるとセロになりますので、cosθ=0となりますね。
つまり2平面は直交するということです。
(2)
平面の方程式をx,y,zの連立方程式と見なせば、未知数が3個、方程式2個ですから、自由度が1なので、1つの変数は自由に決めてやれば、他の2変数が決まります。たとえばxo=0としてみて下さい。そうすれば
P(xo,yo,zo)が求まるでしょう。
両平面の法線ベクトルは教科書や参考書に載っているでしょう。
両法線ベクトルのそれぞれとC(a,b,c)との内積=0として(a,b,c)を決めて下さい。a,b,cの１つは自由に決めてもいいのでa=1としてみて下さい。
交線上の一点P(xo,yo,zo)と方向ベクトル(a,b,c)が与えられた時の直線（交線）の方程式はどの教科書や参考書にも載っているかと思います。

後は質問者さんの自力努力で解けるはず。やってみて下さい。

回答No.2

info22

問題の丸投げはだめです。
問題は正しく回答者に正しく伝わるように書くこと
>1: (x+1)/1 = (y+2)/2 = (z+3)/3
>l2: (x-1)/1 = (y-2)/4 = (z-3)/(-3)

>教科書にこのタイプの問題が無くて・・・解き方が全く分からないので、詳しい解法を教えていただけると嬉しいです。

教科書や参考書を調べて、ある程度の自力解答を補足に書いて下さい。
丸投げ問題に丸解答は禁止事項だし、ある程度の基礎知識がないとアドバイスが理解できないのでは回答しても意味がありません。

その上で、行き詰っている箇所に箇所に質問を絞って聞いてください。

アドバイス）
１．
手順１）各直線の方向ベクトルを求める（A,Bとする）
手順２）＃１さんのいわれる内積の式からA,Bのなす角θのcosθをもとめる。
手順３）cosθからθを求める。直線のなす角はθと（π-θ)[rad] または(180°-θ）が考えられるが通常π/2[rad]または90°以下の方を答えとします。

２.
（1）
手順１）両平面の法線ベクトルを求める。
手順２）法線ベクトルのなす角θを１.手順２、手順３の内積の式から求める。法線ベクトルのなす角θが平面のなす角に等しくなります。

(2)
手順１)両平面上の共通点を１つ求める(P(xo,yo,zo)とする）。
手順２）両平面の法線ベクトルを求める(A,Bとする)。
手順３）両法線に直角なベクトル(C(a,b,c)とする)を求める。
手順４）交線の方程式を求める：(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c

個々の手順の内容は教科書や参考書をみれば分かるはずです。
補足質問は、自分でやった途中計算を書いて、その上で行き詰って分からない箇所を書いてきいてください。

回答No.1

nag0720

l1: x+1/1 = y+2/2 = z+3/3
l2: x-1/1 = y-2/4 = z-3/-3
これはどこかにカッコが付かないのでしょうか？
カッコが付かない場合、そのまま解釈すれば、
l1: x = y = z
l2: x-1 = y-1/2 = z+1
となりますが、それでいいのでしょうか？

問題がはっきりしないので、ヒントだけ。

２つのベクトルA,Bのなす角αは、
cosα=(A・B)/(|A||B|)
で求められます。

２つの平面のなす角は、平面の法線ベクトルがなす角から求められます。

補足

申し訳ありません。
l1: (x+1)/1 = (y+2)/2 = (z+3)/3
l2: (x-1)/1 = (y-2)/4 = (z-3)/-3
カッコ付きます。