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線形代数の問題
（１）２直線：2x-6y+5=0,4x-2y+1=0について、２直線の交点・２直線のなす角を求めよ。 （２）２平面：x-2y+z+3=0,2x+3y-2z-1=0について、２平面の交線及び交線と点(1,1,1)を含む平面を求めよ。 という２問について解法を教えて頂きたいのですが。 (1)の問題は交点は連立させて求めたのですが、なす角の求め方がわかりません。 (2)の問題は交線の求め方が解らないのですがどのような解法があるのでしょうか？ 解る方教えて下さい。
- fantasista8
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直線や平面のベクトル表示を勉強中と思いますのでその線で(1)を答えると。これはwolvさんの回答の補足とう格好になりますね。 ２直線の交点(x0,y0）は x0＝1/5，y0＝9/10 (1) 位置ベクトルｘ0を通る平面上の直線Lのベクトル方程式は、方向ベクトルをａとすると Ｘ＝Ｘ0＋tａ (1) と書けます。ここでＸ,ａ,Ｘ0はそれぞれ成分Ｘ(x,y),Ｘ0(x0,y0),ａ(a1,a2)とする位置ベクトルで、tはパラメータです。(1)を(x,y)成分で書くと x＝x0＋ta1，y＝y0＋ta2 (2) となりますね。(2)よりパラメータtを消去すると a2x－a1y＝a2x0－a1y0 (3) ここでx0＝1/5、y0＝9/10を(3)に代入すると a2x－a1y＝(2a2－9a1)/10 (4) 直線2x－6y＋5＝0は(4)でa2＝2,a1＝6、4x－2y＋1＝0はa2'＝4,a1'＝2と置けばよいことが分かります。以上整理すると直線2x－6y＋5＝0の方向ベクトルはａ(6,2）、直線4x－2y＋1＝0の方向ベクトルはａ'(2,4)ですね。そこで２直線のなす角をθとするとベクトルの内積より cosθ＝|ａ・ａ'|/∥ａ∥∥ａ'∥＝1/√2 (5) これからθ＝45度と求まります。
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- springside
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(2)です。 x-2y+z+3=0・・・(1) 2x+3y-2z-1=0・・・(2) とする。 (1)×２＋(2)により、zを消去すると、 y=4x+5 よって、x=(y-5)/4・・・(3) また、(1)より、 z=-x+2y-3 =7x+7 よって、x=(z-7)/7・・・(4) (3)、(4)より、もとめる交線の式は、 x=(y-5)/4=(z-7)/7・・・答 次に、２平面(1)、(2)をの交線を含む平面の方程式は、定数kを用いて、 (x-2y+z+3)+k(2x+3y-2z-1)=0・・・(5) と書ける。 これが点(1,1,1)を通るから、これを代入すると、 (1-2+1+3)+k(2+3-2-1)=0 よって、k=-(3/2) このkを(5)に代入すると、 (x-2y+z+3)-(3/2)(2x+3y-2z-1)=0 よって、 4x+13y-8z-9=0・・・答 注：後半の「平面を求める」問題について、出題者は前半で求めた「交線」を使うことを想定しているのでしょうが、そんなことをしなくても、上記のように解いた方が簡単です（無駄な誘導ということです）。
お礼
お返事遅くなってしまいまして申し訳御座いません。 ご回答ありがとうございました。 このような解き方があったのですね。参考にさせていただきます。 ありがとうございました。
- wolv
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(1)の別解のヒント ヒント１ なす角ときたら、ベクトルa,bとなす角θは a・b = |a| |b| cosθ の関係があることを使いましょう。 ヒント２ ２直線のなす角は、２直線の法線ベクトルのなす角になります。角度として90度以上のものが求まったときは、180度から引けばなす角になります。 ヒント３ 2x-6y+5=0, 4x-2y+1=0 の法線ベクトルとしては、たとえば (2,-6),(4,-2)を選べばよい。
お礼
お返事遅くなってしまいまして申し訳御座いません。 ご回答ありがとうございました。 解りやすいヒントだったので参考にさせていただき解くことが出来ました。 ありがとうございました。
- primary5869
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公式忘れたけど、 y=1/3x+a y=2x+b tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)* tan(a-b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)*どっちか -------- 交線の角 多分、tan=45 x-2y+z+3+k(2x+3y-2z-1)=0 3+k*2=0 k=-3/2 2x-4y+2z+6-6x-9y+6z+3=0 4x+13y-8z-9=0 垂直のベクトル (1,-2,1)(2,3,-2) 交線のベクトル (a,b,c) 1*a-2*b+c=0 2*a+3*b-2*c=0 4a-b=0 b=4a c=7a _x-1___y-1___z-1 -----=-----=----- _1______4_____7 だったように思います。
お礼
お返事遅くなってしまいまして申し訳御座いません。 ご回答ありがとうございます。
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