空間ベクトルと球

質問

空間ベクトルの問題の解き方を教えてください。
「原点をOとするxyz空間に3点A(2、2、4)、B(5、ー2、1)、C(1、ー2、5)があり、点Oを中心とし、点Aを通る球面をSとする。直線BCと球面Sの交点のうち、点Bに近い方をDとする。球面Sを平面OADで切った時の切り口に現れる扇形OADに対し、弧ADの長さを求める。」という問題です。（答えは2√6／3πです。）

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

何がわからなくて躓いているのかわかりませんが……。

円の半径は，OAの距離に等しいので2√6と求まりますね。
このような空間での直線はベクトルを使うと扱いやすいです。
ベクトルBCをここでは(→BC)と書き表すことにします。

(→BC)=(-4,0,4)　　（直線BCの方向ベクトルになります）
直線BC上の任意の点をP(x,y,z)とすると，ｔを実数として
(→OP)=(→OB)+(→BP)=(→OB)+t(→BC)=(5,-2,1)+t(-4,0,4)
=(5-4t,-2,1+4t)　……①

球面Sの方程式7
x^2+y^2+z^2=(2√6)^2
に①を代入すると
(5-4t)^2+(-2)^2+(1+4t)^2=24
(4t-3)(4t-1)=0
t=3/4,1/4

(→OP)=(→OB)+t(→BC)
であったが，点Dは点Bに近い方なので，t=1/4である。
（点Bから点Cに向かって伸びの少ない方と言えばわかりやすいかな）

∴(→OD)=(→OB)+(1/4)(→BC)=(4,-2,2)　　（∵①でt=1/4)

ここまでで点Dがわかりました。次に弧ADの長さを求める作業になります。

円の半径をr中心角を弧度法でθとすると，弧の長さはrθですね。
（念のため，2πr*(θ/2π)=rθ）
ですから，中心角(ここでは∠AOD)を求める必要があります。
cos∠AOD=((→OA)・(→OD))/|→OA||→OD|=1/2
となります。（内積の計算は省きました）
0≦∠AOD≦πで考えればよいから
∠AOD=π/3

故に求める弧の長さ（半径×中心角）は
2√6*(π/3)=(2√6/3)π
となるのです。

補足

まず最初に何をすればよいのか分からず手が止まってしまいました。

回答No.1

gamma1854

どこまで解いたのか不明です。
まず、D(4, -2, 2) を突き止めること。
次に、２つのベクトル OA, OD の内積から、
∠AOD=pi/3
を得ること。
これから、劣弧AD = 2√6 * pi/3.
ということです。