分からないです。解説お願いします

質問

xyz座標空間に原点中心、半径1の球面Sと点A(0,0,1/2)を通りベクトル(1,1,1)に垂直な平面πがある。また球面S上に点N(0,0,1)をとる。球面Sと平面πが交わって出来る円周上を点Qが動く時、直線NQとxy平面との交点Pの軌跡を求めよ。

回答No.1

info222_

球面S：x^2+y^2+z^2=1 ...(1)
平面π：x+y+z=1/2 ...(2)
Q(a,b,c)とおくと
a^2+b^2+c^2=1, a+b+c=1/2 ...(3)
直線NQ：(x-a)/a=(y-b)/b=(z-c)/(c-1) ...(4)
P(x,y,0)とおくと
(x-a)/a=(y-b)/b=(-c)/(c-1)(=kとおく）...(5)
a=x/(k+1), b=y/(k+1), c=k/(k+1) ...(6)
(3),(6)より
x^2+y^2+k^2=(k+1)^2 → x^2+y^2=1+2k ...(7)
(x+y+k)/(k+1)=1/2 → k=1-2x-2y ...(8)

(8)を(7)に代入してkを消去して
x^2+y^2=1+2k=1+2(1-2x-2y)=3-4x-4y
∴　(x+2)^2+(y+2)^2=11 (z=0) ...(9)
この円周が 求める点Ｐの軌跡である。