球面についての問題です。

質問

考え方だけでも良いので教えてください。

xyz空間に点P(0,0,5)を通る直線ｌと点Q(0,4,2)を中心とする半径rの球面Sがある。

問1 球面Sと接する直線lが存在するためのrの範囲を求めよ。

問2 r=1とし、点Pに点光源を置いたとき、xy平面上にできる球面Sの影を領域Rとする。
領域Rを表す不等式を求めよ。

問3 領域Rの面積を求めよ。

問1については自力で考えた結果、恐らくr<=5じゃないかと思うのですが確証が持てません・・・orz

回答No.3

think2nd · ベストアンサー

コンピュータで３Ｄプログラムを書くときのアルゴリズムになりますね。
やってみましたが、計算が面倒で(まさにコンピュータ向きです。)間違っている気がします。チェツクして下さい。もっとも考え方が間違っているんじゃ・・・馬鹿ですね。欠点を教えて下さい。
Ａ(0,0,5)を通る直線ｌと球の中心をS(0,4,2)とします。
問１は　0<r<5　でしょう。
問２　点Aからでる放射線が球に接する接点の軌跡は円Tになります。その円周上の点をQ(a,b,c)とおく。
すると
　　→ＡＱ=(a,b,c-5)　　
　　→AS=(0,4-3)
　が成り立ちしかも
　△ASQは直角三角形だから、ピタゴラスの定理より、
　　a^2+b^2+(c-5)^2=24・・・(1)
　一方中心がSで半径が１の球上にPが乗っているから、
　　a^2+(b-4)^2+(c-2)^2=1・・・(2)
　が成り立ちます。
　よって(1)-(2)は(1)と(2)を同時に満たす平面ですから、(a,b,c)は。
　　　4b-3c=9・・・(3)
　　を満たします。　
　さてＡＴを通る直線ｌの方程式は　方向ベクトルが→AQ=(a,b,c-5)でAを通りますから
　ｌ:　x/a=y/b=(5-z)/(5-c)　です。
　　この直線がxy平面上に乗るためにはz=0であればよい。
　　すなわちAからＴを通る直線たちは
　　x/a=y/b=5/(5-c)・・・(4)　　を満たす。(1<c<3)
　ここからx,yの方程式を作ればよい。
　　(4)を変形して　

　　　　a={(5-c)x}/5・・・(5)
　　　　b={(5-c)y}/5・・・(6)
　(6)を(3)に代入して
　　{4(5-c)y}/5-3c-9=0　からcを求める　
　　　4(5-c)y-15c-45=0　を計算して
　　　　　c=(20y-45)/(4y+15)・・・(7)
　　だから(7)を　(5)に代入して
　　　a=(5-c)x/5=24x/(15+4y)・・・(8)
　　同様に(6)に代入して
　　　b=24y/(4y+15)・・・(9)

　(7)(8)(9)を(2)に代入して　
　整理すると　xy平面上の楕円が
　　(8x^2)/25+{(y-15/2)^2}/75=1　
　　となるかな？
　よって　(8x^2)/25+{(y-15/2)^2}/75<=1
問３　楕円の面積はπabで求まりますよ。

お礼

返答遅れてすみません。
解き方・考え方本当によく分かりました。ありがとうございます。

問2について何度か検算したのですが、yの項の8が抜けてる気がします…。
自分の答えは (8x^2)/25+8(y-15/2)^2/75<=1 になりました。

回答No.2

stomachman

問1: Pが球の内側に来ないこと。だからPが丁度球面上に来る条件を調べれば良いですね。
問2: Pを頂点とし、PQを軸とする円錐をxy平面で切った断面が影の領域。円錐の表面上の点Tから軸PQに垂線を降ろした足をUとするとPUとTUは比例します。また、円錐の母線PTは球Sの接線です。これらのことを式で表してからz=0を代入すれば、影の輪郭の方程式が得られます。円錐を平面で切った断面の輪郭は円か楕円か放物線か双曲線になることを知っていれば、結果がおかしくないかチェックするのに役立つでしょう。不等式まではあと一歩です。
問3: 円や楕円の影なら面積があるけれども、輪郭が放物線や双曲線になると面積がありません。また、円になるのはPがQの「真上」にあるときだけ。だから、影はおそらく楕円でしょう。ならば、xy座標系を平行移動・回転して、楕円の面積が（積分など使わなくても）簡単に計算できるようなXY座標系で表してやると良い。たとえばPQを結ぶ直線が
　　z = kX（kは定数）
と表せるように
　　x = pX - qY + x0
　　y = qX + pY + y0
　　p^2+q^2 = 1
となるp, q, x0, y0を決めるのです。

回答No.1

hrsmmhr

解いてませんが…

接点の座標が作る曲線は球面Ｓと点Ｐを中心とした半径√(5^2-1^2)の球面との交面で円になるので
その円の方程式を媒介変数で記述して、そこから点Ｐとなす直線のxy平面上の交点の座標を求めれば
問2はできるのではないでしょうか・