平面と球面

質問

先ほど、質問させてもらったものです。
xyz空間において、球面Ｓ：x^2+y^2+z^2=1と点Ａ(3,0,0)について
以下の問いに答えなさい。
(1)平面x=cと球面Ｓとか交わるような実数ｃの範囲をもとめよ。
これは、-1≦c≦1でいいと思います。
(2)cが前問の範囲を動くとき、平面x=cとＳとの交わりの円を底面とし
Ａを頂点とする円錐の体積を最大とするcの値をもとめよ。

球面の方程式にx=cを代入してyについて求め、
y＝±√(1-z^2-c^2)
これにz＝0を代入し
　　　 y＝±√(1-c^2)
これを２乗し、底面の面積をだし、それに1/3*(3-c)πをかけたもの
　　　1/3*(1-c^2)*(3-c)π
が、円錐の体積になると考えたのですがよいでしょうか？？
もしよければ、体積が最大となるときの条件は何でしょうか？
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.6

info22

＞この場合、C=0でのf',f'',fを求めないといけないのでしょうか？？
必ずしも求める必要はないです。

求めたのはfixmania様がA#1のお礼の中で
>-1≦c≦1での、最大値を求めることができません・・・
>普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが。。
と発言があったこともあってc=0のｆ（ｃ）がどうなっているかを
示すために求めておいたということです。
c=±1,0は特徴点でもあってc=0でのf, f', f"を求めておきました。

A#3の中の極大値と最大値は＃５様の指摘通り計算ミスを
しておりましたのでA#3中の以下の行を訂正させて頂きます。

>最大値f((3-2√3)/3)＝4π(√3-1)/9
>極大値f((3-2√3)/3)＝4π(√3-1)/9
最大値f((3-2√3)/3)＝16π√3/27
極大値f((3-2√3)/3)＝16π√3/27

＃極大値、最大値は質問では求める必要はなかったですね。
体積が最大になる条件は
c=(3-2√3)/3=1-(2/√3)(<0)　だけでよかったですね。

お礼

返信ありがとうございます。
c=0を最大値だと思っていたことが本当恥ずかしいです。。
そんなとこに気を使ってくださりありがとうございましたm(__)m

回答No.5

kkkk2222

＞＞体積が最大のCの値は、(3-2√3)/3ということでよろしいでしょうか

まいりました。
体積を訊かれていると、思い計算しましたが、
どうしても、＃３様と合わない。
１０回くらいやりました。
やむを得ず
Ｖ（Ｃ）＝π（１／３）（１－Ｃ＾２）（３－Ｃ）
に代入したら、何とあっている。＃３様ゴメン、
当方の解が正しいようです。

で、よく読んだら。
＞＞Cの値は、(3-2√3)/3・・・・・（＃３様と同一解で合ってます）
でガックリ
せっかく計算したので、解も記載します。

さて
最大値の計算
ｖ＝Ｖ＊（３／π）　
＝Ｃ＾３－３Ｃ＾２ーＣ＋３
＝（３Ｃ＾２ー６Ｃー１）（（１／３）Ｃ－（１／３））＋（－８／３）（Ｃ－１）
＝０＊（（１／３）Ｃ－（１／３））＋（－８／３）（Ｃ－１）
＝（－８／３）（Ｃ－１）
　　　　　　　　ここでＣ＝（３－２√３）／３を代入すると、
＝１６√３／９

Ｖ＊（３／π）＝１６√３／９　より　
Ｖ＝（１６√３／９）（π／３）
＝１６√３π／２７

即　Ｃ＝（３－２√３）／３　の時　最大値１６√３π／２７
ーーー
ＰＳ　２次導関数の算出は不要です。
増減表は（ー１≦Ｃ≦１）で充分です。
ただしー１≦（３－２√３）／３≦１と、１≦（３＋２√３）／３は示す必要があります。
ーーー

お礼

返信ありがとうございます。
わざわざ、何回も計算してくださってご迷惑かけましたm(__)m
くどいようで本当に申し訳ないのですが

＞＞ただしー１≦（３－２√３）／３≦１と、１≦（３＋２√３）／３は示す必要があります。

これは、ｃの値を書くとき示すべきということなのでしょうか？？

回答No.4

kkkk2222

＞＞普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが

Ｖ（Ｃ）＝π（１／３）（１－Ｃ＾２）（３－Ｃ）
ｖ＝Ｖ（Ｃ）＊（３／π）　　
ｖ＝Ｃ＾３－３Ｃ＾２ーＣ＋３
ｖ’＝３Ｃ＾２ー６Ｃー１＝０
Ｃ＝（３±２√３）／３

　　　　　　　　ＭＡＸ
　　　　　／　　　　　　＼
　　　／　　　　　　　　　　＼　　　　／

ー１　（３－２√３）／３　　１

このあとは、
Ｃ＾３－３Ｃ＾２ーＣ＋３＝（３Ｃ＾２ー６Ｃー１）（式）＋（一次式）
つまり、割り算をしてから代入した方が良いです。

お礼

返信ありがとうございます。
体積が最大のCの値は、(3-2√3)/3ということでよろしいでしょうか？？

回答No.3

info22

#1です。
>-1≦c≦1での、最大値を求めることができません・・・
普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが。。

単なるｃの３次関数ですから普通に増減表を作って調べれば良いでしょう。
EXCELでグラフを描けば -1<=c<0の極大値が最大値になることが分かると思います。

f(c)=(π/3)*(1-c^2)*(3-c)＝(π/3)*(c^3 -3c^2 -c+3)
f'(c)=(π/3)(3c^2 -6c -1)
f'(c)=0の根：c=(3±√12)/3=1±(2/√3)=2.1547…,-0.1547…
f"(c)=(2π)(c-1)

増減表
c |-1　　… (3-2√3)/3　…　　　0　　……　1
f'|8π/3 ＋ 　　0　　　－　…(-π/3)　…(-4π/3)
f"|-4π　－　　－　(上に凸)　(-2π)　　－　0
ｆ| 0　増加　　極大　　減少　　1　　減少　 0

c＝(3-2√3)/3の時、f'(c)=0,f"(c)=-4π/√3＜0(上に凸)
極大値f((3-2√3)/3)＝4π(√3-1)/9
-1≦c＜(3-2√3)/3でf'(c)＞0 、f(c)増加
(3-2√3)/3＜c＜1でf'(c)＜0 、f(c)減少
従って、c＝(3-2√3)/3の時の極大値が最大値となる。
最大値f((3-2√3)/3)＝4π(√3-1)/9

お礼

返信ありがとうございます。
増減表を使うんですね。。
教科書を見て少しずつ思い出してきました。

この場合、C=0でのf',f'',fを求めないといけないのでしょうか？？
増減表のことの質問になってしまいすみません。

回答No.2

kkkk2222

ーー
あってます。

ただ、少し遠回りしてます。（後述）

あとは＃１様通りです。

補足

平面上で
＃１　　Ｘ＝１
＃２　　Ｘ＝１　　（Ｙは任意）
通常表記は＃１ですが、＃２の表記がときには有効です。
本問題では
Ｘ＝Ｃ　（Ｙ、Ｚは任意）・・・平面の方程式
とすれば、考えよいと。

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＋Ｚ＾２＝１
Ｃ＾２＋Ｙ＾２＋Ｚ＾２＝１
底面の円の方程式は
Ｙ＾２＋Ｚ＾２＝１－Ｃ＾２　（ー１≦Ｘ≦１）
その面積は　π（１－Ｃ＾２）
ーーー

お礼

返信ありがとうございます。
確かに、遠回りな計算でした・・・。
ご教授ありがとございました。

回答No.1

info22

(1)合っている。(2)の途中まで合っています。
出てきた体積の式がcを変数とする3次関数
f(c)=1/3*(1-c^2)*(3-c)π＝
と見做せます。
(1)で求めたｃの範囲
-1≦c≦1
でf(c)の最大値を求めれば良いだけです。

-1≦c≦1での3次関数f(c)の最大値は求められますね。
やってみてください。
分からなければ質問して下さい。

お礼

返信ありがとうございます。
本当に初歩的で申し訳ないのですが
-1≦c≦1での、最大値を求めることができません・・・
普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが。。