これって接平面の方程式じゃ？

質問

今日こんな問題を解きました。
次の曲面の点（a,b,c)における接平面の方程式を求めよ。
（１）xy+yz+zx+1=0
（２）xyz=1
私の解答は
（１）z(x+y)=-(1+xy)
z=-(1+xy)/x+yとおいて
このzに対してのそれぞれの偏微分fx(x,y),fy(x,y)を求めて、接平面の方程式であるz-c=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)に代入して答えを得ました。
（２）z=1/xyといて
（１）と同様にこのzに対してのfx(x,y),fy(x,y)を求め
z-c=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)に代入して答えを得ました。その解は両方ともa,b,c,x,y,ｚと文字が全部含まれていたのですが、いざ答え合わせをしてみると
（１）はφ=xy+yz+zx-1
gradφ(A)(X-Xo)=(y+z,x+z,y+x)_X-A・(X-A)
=(b+c,a+c,b+a)・(x-a,y-b,z-c)=0より
(b+c)x+(c+a)y+(a+b)z=a(b+c)+b(a+c)+c(b+a)=z
{A=(a,b,c) X=(x,y,z)}とおいた。
（２）はφ=xyz-1
gradφ(A)(X-A)=(bc,ca,ab)(x-a,y-b,z-c)=0より
bcx+cay+abz=3abc=3
となっていました。二つとも私の導いた答えと全く異なっており、混乱しています。私の解答であっているのかそれとも全く違うのか、違うのならなぜ接平面の方程式じゃ解けないのか等教えてください。。。

回答No.2

ojisan7

akitakenさんの方法も、答えの方法も同じ結果を与えます。（１）についてもakitakenさんの方法と、答えの方法で確かめましたが、やはり、同じ結果でした。（一見、異なっているように見えますが、ab+bc+ca+1=0を使って式を変形すれば同じになるはずです。）

公式として覚えておきたいのは、曲面の方程式が陰関数
F(x,y,z)＝０の形で与えられたとき、接平面の接点における法線ベクトルの方向は、∇Fで与えられます。

回答No.1

pocopeco

あなたの答えはどうなってるのか教えてください。

(1)はまだやってませんが、
(2)はあなたの言っている接平面の方程式で出てきた答えを変形したら、書かれている解答のようになりました。使えると思います。

(1)も変形したらできてるのでは？

頑張ってやってみてください。わからなければ書き込んでくれたらまた答えますよー★