高校数学、3次元の式の考え方

質問

高校数学、3次元の式の考え方
中心が（１、－３，２）で原点を通る球をSとする。
（１）Sとｙｚ平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。

（２）Sとｚ＝ｋの交わりは半径√５の円になるという。ｋの値を求めよ。
（問題集の解答）
（１）
Sの半径ｒは中心（１、－３，２）と原点との距離に等しいからｒ＾２＝１＾２＋（－３）＾２＋２＾２＝１４
よって、Sの方程式は（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１４
球面Sとｙｚ平面が交わって出来る図形の方程式は
（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０（★）
これはｙｚ平面上で中心（０、－３，２）半径√１３の円を表す。

（２）
Sとｚ＝ｋが交わって出来る図形の方程式は
（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｋ－２）＾２＝１４、ｚ＝ｋ（★）
（疑問）
(1)直線と直線（曲線）の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線（交線）になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか？
(2)例えばｙ＝ｘ＋１とｙ＝２ｘは（１，２）を交点に持ちます。
このとき、（１，２）はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは２つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、（１，２）を求めた。
では、
Sとｙｚ平面の交わりをどう考えるのか?
S：（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１４、yz平面：ｘ＝０をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０となるのがイマイチピンときません。
方程式はｘｙｚが満たすべき条件ですから、２つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０がSの方程式、ｙｚ平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。
（３）3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。
ｘ＝０ならばｘ＝０という条件以外任意という意味ですから、ｙｚへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか？2次元ではｘ＝０は直線なので、これを見ると少し違和感があります。

中心が（１、－３，２）で原点を通る球をSとする。
（１）Sとｙｚ平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。

（２）Sとｚ＝ｋの交わりは半径√５の円になるという。ｋの値を求めよ。
（問題集の解答）
（１）
Sの半径ｒは中心（１、－３，２）と原点との距離に等しいからｒ＾２＝１＾２＋（－３）＾２＋２＾２＝１４
よって、Sの方程式は（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１４
球面Sとｙｚ平面が交わって出来る図形の方程式は
（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０（★）
これはｙｚ平面上で中心（０、－３，２）半径√１３の円を表す。

（２）
Sとｚ＝ｋが交わって出来る図形の方程式は
（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｋ－２）＾２＝１４、ｚ＝ｋ（★）
（疑問）
（I）直線と直線（曲線）の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線（交線）になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか？
（II）例えばｙ＝ｘ＋１とｙ＝２ｘは（１，２）を交点に持ちます。
このとき、（１，２）はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは２つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、（１，２）を求めた。
では、
Sとｙｚ平面の交わりをどう考えるのか?
S：（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１４、yz平面：ｘ＝０をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０となるのがイマイチピンときません。
方程式はｘｙｚが満たすべき条件ですから、２つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０がSの方程式、ｙｚ平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。
（III）3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。
ｘ＝０ならばｘ＝０という条件以外任意という意味ですから、ｙｚへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか？2次元ではｘ＝０は直線なので、これを見ると少し違和感があります。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

疑問が２回でてきますが、重複している感じなので、うち路の方を答えてみます。
しかし違和感とかいわれても、なにを考えているのかわからないので
そこをはっきり書いてくれないと困りますね。

>（I）直線と直線（曲線）の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線（交線）になる、
>というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか？

問題に出てくる円は円周(曲線)ですね。球面と平面との交差です。

>（II）

交差というのは２つの図形の方程式を同時に満たす解です。
（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３　だけじゃ円筒ですよね。
＃３次元で満たす方程式１個では、一般に面を表す。

円のような曲線にするには
x = 0 が必要。
＃一般に３次元で曲線を表すには方程式が２個必要です。

（III）

一般的な直線は平面の方程式2個で表せばよい。

２次元でも３次元でも同じ形にしたければベクトルを使って媒介変数表示がよいでしょう。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

spring135

問題、質問ともダブっているのか、整理されていないのでまともに答えられませんが、概略以下の通りです。

(1)直線と直線（曲線）の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線（交線）になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか？

→球面と平面が交差して平面上に円が書かれているということです。

(2)例えばｙ＝ｘ＋１とｙ＝２ｘは（１，２）を交点に持ちます。
このとき、（１，２）はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは２つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、（１，２）を求めた。
では、
Sとｙｚ平面の交わりをどう考えるのか?

→yz面はx=cで表されます。Sとx=0を連立すればよい。

S：（ｘ－１）＾２＋（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１４、yz平面：ｘ＝０をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０となるのがイマイチピンときません。

→数学的に表現してください。

方程式はｘｙｚが満たすべき条件ですから、２つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、（ｙ＋３）＾２＋（ｚ－２）＾２＝１３かつｘ＝０がSの方程式、ｙｚ平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。

→上述の通り

（３）3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。
ｘ＝０ならばｘ＝０という条件以外任意という意味ですから、ｙｚへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか？2次元ではｘ＝０は直線なので、これを見ると少し違和感があります。

→点(a,b,c)を通り、傾きが(p,q,r)の3次元空間における直線の式：

(x-a)/p=(y-b)/q=(z-c)/r

お礼

ありがとうございました

補足

お伺いしたいことをまとめます。（上の質問は概ね解決しました）
（１）何と何が交わると平面が出来るのでしょうか?
（２）３次元においてｘｙｚの２次式は何を表すのでしょうか?３次式以上はどうなるのでしょうか?

回答No.1

Tacosan

確認したいのですが, 「ベクトル」とか「媒介変数」というものはご存知でしょうか?

お礼

ありがとうございました

補足

はい、知っています。