大学の微分積分についての問題です！！

質問

大学の微分積分についての問題です！！

(x,y,z)-空間R^3内の半径aの球面S上の極座標を

x = asin(φ)cos(θ)
y = asin(φ)sin(θ)
z = acos(φ)　　　　　　　　0≦φ≦π　　0≦θ≦2π

とする。

球面S上の点P=X(ベクトル）(φ,θ)　接ベクトルの基底、法ベクトル、微小面積要素などを求める。

（１）φ=constなる直線の像となるS上の曲線（緯度）に点Pで接する接ベクトル

Xθ(P)=X_θ(P)=( ？ ) ←※1行3列　※X_θは偏微分のこと

同じくθ＝constなる直線の像となるS上の曲線（緯度）に点Pで接する接ベクトル

　　　　　　　　Xφ(P)=X_φ(P)=( ？ )

（２）法ベクトル

　　　　　　　　n(P)=xθ(P)×xφ（P)＝（ ？ )

（３）球面Sの点Pでの微小面積要素、つまり接ベクトルXθ（P)Δθと接ベクトルXφ（P)Δφがつくる
平行四辺形の面積Δσは、（　？　）ΔθΔφ

（４）パラメータ（θ、φ）が領域G={0≦φ≦π/3,0≦θ≦2πを動く時の
球面Sの部分領域{X(φ,θ)；（φ,θ)∈G}⊂Sの曲面積は、S=（　？　）

どうかお願いします！！答えだけでなく計算過程もお願いします！！
できない場合はできるとこだけでもお願いします！！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

課題等の丸投げの全くの他力本願はだめ。自分で調べて自力でできる所は自力でやる。その上でわからない箇所があれば、計算過程を補足に書いて、行き詰っている所をお書きください。

問題の座標系は球座標系の極座標ですが、変数θとφの文字の使い方が通常とは逆になっているので注意。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
http://homepage3.nifty.com/first_physics/vector_analysis/va_coordinatesys.html

［解き方の説明］
(1)
>同じくθ＝constなる直線の像となるS上の曲線（緯度）に点Pで接する接ベクトル
問題文にミスあり。
誤：（緯度）
正：（経度）

Xφ(P)：Pをφで偏微分するだけ
Xφ(P)：Pの座標をφで偏微分するだけ

(2)
(1)で求めたθ(P)　と　xφ（P)の外積を計算するだけ。

(3)
(2)で求めた法ベクトルの絶対値|n(P)|を計算するだけ。

(4)
(3)で求めた面積要素を領域{X(φ,θ)；（φ,θ)∈G},
G={0≦φ≦π/3,0≦θ≦2π}
にわたって逐次積分法で積分するだけ。

回答No.2

info22_

#1です。
誤植（転記ミス）の訂正

[解き方の説明]の所
(1)
誤：Xφ(P)：Pをφで偏微分するだけ
正：Xθ(P)：Pの座標をθで偏微分するだけ。

(2)
誤：(1)で求めたθ(P)　と　xφ（P)の外積を計算するだけ。
正：(1)で求めた Xθ(P) と Xφ(P)との外積を計算するだけ。

追加補足説明
外積参考URL
http://yosshy.sansu.org/gaiseki.htm